不论怎样，简单截断、TG、FOBOS都还是建立在SGD的基础之上的，属于梯度下降类型的方法，这类型方法的优点就是精度比较高，并且TG、FOBOS也都能在稀疏性上得到提升。但是有些其它类型的算法，例如RDA从另一个方面来求解Online Optimization并且更有效地提升了特征权重的稀疏性。RDA（Regularized Dual Averaging）是微软十年的研究成果。RDA是Simple Dual Averaging Scheme一个扩展，由Lin Xiao发表于2010年[1]。

1. 算法原理

 在RDA中，特征权重的更新策略为：

  公式(1)

 其中表示梯度对的积分平均值（积分中值）；为正则项；为一个辅助的严格凸函数；是一个非负且非自减序列。

本质上，公式(1)中包含了3个部分：(1) 线性函数，包含了之前所有梯度（或次梯度）的平均值（dual average）；(2) 正则项；(3) 额外正则项，它是一个严格凸函数。

2. L1-RDA

我们下面来看看在L1正则化下，RDA中的特征权重更新具有什么样的形式以及如何产生稀疏性。

令，由于是一个关于的严格凸函数，不妨令，此外将非负非自减序列定义为，将L1正则化代入公式(1)有：

   公式(2)

直接求解上式看上去非常困难，但是我们可以仿照上一篇FOBOS中采用的方法，针对特征权重的各个维度将其拆解成N个独立的标量最小化问题：

    公式(3)

这里，；；公式(3)就是一个无约束的非平滑最优化问题。其中第2项在处不可导。假设是其最优解，并且定义为在的次导数，那么有：

   公式(4)

如果对公式(3)求导（求次导数）并等于0，则有：

   公式(5)

由于，我们针对公式(5)分三种情况进行讨论：

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(1) 当时：

还可以分为三种情况：

(a) 如果，由公式(5)可得，满足公式(4)

(b) 如果，由公式(4)可得，那么有，不满足公式(5)

(c) 如果，由公式(4)可得，那么有，不满足公式(5)

所以，当时，

(2) 当时：

采用相同的分析方法可以得到，此时，即：

(3) 当时：

采用相同的分析方法可以得到，此时，即：

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综合上面的分析，可以得到L1-RDA特征权重的各个维度更新的方式为：

      公式(6)

这里我们发现，当某个维度上累积梯度平均值的绝对值小于阈值的时候，该维度权重将被置，特征权重的稀疏性由此产生。

根据公式(6)，可以设计出L1-RDA的算法逻辑为：

3. L1-RDA与FOBOS的比较

在上一篇博文中中我们看到了L1-FOBOS实际上是TG的一种特殊形式，在L1-FOBOS中，进行“截断”的判定条件是。通常会定义为的正相关函数（），因此L1-FOBOS的“截断阈值”为，随着的增加，这个阈值会逐渐降低。

相比较而言，从公式(6)可以看出，L1-RDA的“截断阈值”为，是一个常数，并不随着而变化，因此可以认为L1-RDA比L1-FOBOS在截断判定上更加aggressive，这种性质使得L1-RDA更容易产生稀疏性；此外，RDA中判定对象是梯度的累加平均值，不同于TG或L1-FOBOS中针对单次梯度计算的结果进行判定，避免了由于某些维度由于训练不足导致截断的问题。并且通过调节一个参数，很容易在精度和稀疏性上进行权衡。

参考文献

[1]  Lin Xiao. Dual Averaging Methods for Regularized Stochastic Learning and Online Optimization. Journal of Machine Learning Research, 2010