最长公共子序列

最长公共子序列的问题很简单，就是在两个字符串中找到最长的子序列，这里明确两个含义：

1. 子串：表示连续的一串字符 。
2. 子序列：表示不连续的一串字符。

所以这里要查找的是不连续的最长子序列，

动态规划

这里为什么要使用动态规划可以说一下，简单来说动态规划是为了降低时间复杂度的一种算法，申请一个额外空间，来保存每一个步骤的结果，最后从这些结果中找到最优的解。

这里有个问题就是：一般来说，当前的最优解，只与当前时刻和上一时刻有关系，和其他时刻没有关系，这样才能让动态规划发生作用，降低复杂度。

分析LCS

其实LCS看起来很麻烦，找不到思路，如果暴力破解可能要O(n^4)了，而这个题目使用动态规划的思想也非常简单，为何相比之前的问题不好找思路呢？

是因为之前的动态规划问题例如：背包问题，生产线问题，都是一维数组空间内的结果，规划到一个线性时间内，而这个题目需要O(m*n)的时间复杂度和空间复杂度。

所以其实就是进行m*n次对比，每次保存当前的最优解，就可以了。

代码实现分析

这里有个问题，就是我们需要的结果仅仅是长度？ 还是包括这个序列串一起输出。

看下面图：

这里可以看到，我们构造的一个i*j的矩阵，这个矩阵里的内容不但包括数值（当前结果的最优解），还包括一个方向箭头，这个代表了我们回溯的时候，需要行走的方向。

所以我们这里保存两个值，可以使用两个二维矩阵，也可以使用一个结构体矩阵。

解法分析

其实这个题目在动态规划来理解，也非常简单。一个状态转移函数。

这个非常好理解，其中一个字符串为0的时候，那么肯定是0了。

当两个字符相等的时候，这个时候很好理解，举例来说：

abcd 和 adcd,在遍历c的时候，发现前面只有a相等了，也就是1.
那么c相等，也就是abc和adc在匹配的时候，一定比ab和ad的长度大1，这个1就是c相等么。也就是相等的时候，是比c[i-1][j-1]大1的。

下一个更好理解了，如果不相等，肯定就是找到上一个时刻对比最大的么。

代码

这个代码只输出了LCS的长度，而结果数组的方向我已经存储好了，想要遍历的，直接从后向前遍历数组就好了。

//
//  main.cpp
//  LCS
//
//  最长公共子序列(LCS)
//
//  Created by Alps on 15/8/23.
//  Copyright (c) 2015年 chen. All rights reserved.
//

#include <iostream>

using namespace std;

/*
* 这里可以不定义长度，输入的字符串用string存储，然后利用string.c_str()来对字符串进行数组转化。 我这里为了方便没有这样做。
*/
#ifndef MAX_LENGTH
#define MAX_LENGTH 15 //定义字符串最大长度
#endif

int MaxNum(int firstNum, int secondNum){
    return firstNum > secondNum ? firstNum : secondNum;
}

//定义数组结构体
struct matrix{
    int num;
    int direct;
};

typedef matrix Matrix;

int LCS(char *strA, char *strB, int lengthA, int lengthB, Matrix *resultMatrix[]){
    if (lengthA == 0 || lengthB == 0) {
        return 0;
    }
    for (int i = 0; i < lengthA; i++) {
        for (int j = 0; j < lengthB; j++) {
            resultMatrix[i][j].num = 0; //设置所有默认的最长为0
            resultMatrix[i][j].direct = 1; //所有默认方向变成上 0斜上，1上，-1左
        }
    }

    for (int i = 0; i < lengthA; i++) {
        for (int j = 0; j < lengthB; j++) {
            if (strA[i] == strB[j]) {
                resultMatrix[i+1][j+1].num = resultMatrix[i][j].num + 1;
                resultMatrix[i+1][j+1].direct = 0;
            }else{
                resultMatrix[i+1][j+1].num = MaxNum(resultMatrix[i+1][j].num, resultMatrix[i][j+1].num);
                resultMatrix[i+1][j+1].direct = resultMatrix[i+1][j].num > resultMatrix[i][j+1].num ? 1 : -1;
            }
        }
    }
    return resultMatrix[lengthA][lengthB].num;
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    char *strA = (char*)malloc(sizeof(char) * MAX_LENGTH);
    char *strB = (char*)malloc(sizeof(char) * MAX_LENGTH);
    scanf("%s",strA);
    scanf("%s",strB);
    int lengthA = (int)strlen(strA);
    int lengthB = (int)strlen(strB);
    Matrix *resultMatrix[lengthA+1];
    for (int i = 0; i <= lengthA; i++) {
        resultMatrix[i] = (Matrix*)malloc(sizeof(struct matrix)* (lengthB+1));
    }

    int max = LCS(strA, strB, lengthA, lengthB, resultMatrix);
    printf("%d\n",max);
    std::cout << "Hello, World!\n";
    return 0;
}

以上。?Alps1992