《C算法》读书笔记9：希尔排序的性质研究

接上文。增量序列h有两条重要性质：
首先，定义h排序结束后的数组为h有序。
1、k排序一个h有序的数组，得到的数组既为k有序也为h有序。
2、当k、h互质时，对该新数组进行g排序，比较次数少于$N(k - 1)(h - 1)/g$
下面是一个很不错的增量序列$h_i = {1, 8, 23, 77, 281, 1073, 4193, 16577...}$，经实验发现，它的表现好于$h_n=3h_{n-1}+1$与$h_n=2h_{n-1}+1$。有文献证明，该序列的希尔排序复杂度下界为$O(N^{4/3})$。
更进一步，根据性质2，假如一个2有序且3有序的数组进行最后一遍排序（1排序），比较次数为线性。
1971年，pratt提出了一个增量三角形：

该图中每个数都是左上数的三倍，右上数的两倍。实际应用中，可以将{2,3}替换成较大的互质素数对{h,k}，以减少序列项的数量。

以下是$N=20000$时的一组完全随机实验数据：

$h_n=2h_{n-1}+1$
8191 4095 2047 1023 511 255 127 63 31 15 7 3 1
shell sort step 321464

$h_n=3h_{n-1}+1$
9841 3280 1093 364 121 40 13 4 1
shell sort step 387480

$h_n=2h_{n-1}$
8192 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
shell sort step 1684506

$h_i={1, 8, 23, 77, 281, 1073, 4193, 16577...}$
16577 4193 1073 281 77 23 8 1
shell sort step 373642

对该数列进行增项训练，发现在1073和281之间插入一项541，能得到较好结果：
16577 4193 1073 541 281 77 23 8 1
shell sort step 318192

同理，对$h_n=3h_{n-1}+1$研究后发现，将第二项13替换为23，得到结果为局部最优。
9841 3280 1093 364 121 40 23 4 1
shell sort step 342600

由此想到如下改进：
首先固定$h_0,h_2,h_3,...$，枚举$h_1$，得到最优数列。
接着固定$h_0,h_1,h_3,...$，枚举$h_2$，得到最优数列。
依次类推，最后得到一个新的数列$\hat {h_i}$。
$h_i = 1,5,23,65,175,383,969,2171,4626,9251...$

4626 2171 969 383 175 65 23 5 1
shell sort step 269223
best step = 269223, val = 9251

此时，较原增量数列，已提高43%效率。