标签：

链接：http://blog.csdn.net/zwlforever/archive/2008/03/14/2183049.aspx
一篇不错的FFT 文章，收藏一下。
 DFT的的正变换和反变换分别为（1）和（2）式。假设有N个数据，则计算一个频率点需要N次复数乘法和N-1次复数加法，整个DFT需要N*N次复数乘法和N（N-1）次复数加法；由于一次的复数乘法需要进行4次的实数乘法和2次的复数加法，一次的复数加法需要两次的实数加法，因此整个DFT需要4*N*N次的实数乘法和2*N（N-1）+2*N*N≈4*N*N次的复数加法。当N比较大时，所需的计算工作量相当大，例如N=1024时大约需要400万次乘法运算，对于实时信号处理来说，将对计算设备提出非常苛刻的要求，于是就提出如何能够减少计算DFT的运算量的问题。

大多数的FFT算法都是利用（3）式的周期性、共轭对称性、可压缩和扩展性的特点来压缩计算量。。

1）、根据DFT定义进行计算的代码

//Data为输入数据指针，Log2N=log2(length),flag=-1时为正变换，flag=1时为反变换，变换结果同样由指针Data指向的空间返回
void dft(complex<double>*Data,int Log2N,int flag)
{
        int i,j,length;
        complex<double> wn;
        length=1<<Log2N;
        complex<double>*temp=new complex<double>(length);
    for(i=0;i<length;i++)
   {
               temp[i]=0;
               for(j=0;j<length;j++)
       {
                    wn=complex<double>(cos(2.0*pi/length*i*j),sin(flag*2.0*pi/length*i*j));
                    temp[i]+=Data[j]*wn;    
                }           
       }
       if(flag==1)
           for(i=0;i<length;i++)
               Data[i]=temp[i]/length;
        delete[] temp;
}  

2）、基2时间抽选FFT

把时域的数字信号序列按照奇偶进行分组计算，可以进行如下的变换，从变换结果可以知道，一个长度为N的DFT可以变换成长度为N/2的两个子序列的组合。依次类推，可以直到转为N/2个2点的傅立叶变化的组合。不过这时的输入应该为以2为基的倒位序。

由于经过多次的奇偶抽选，输入数据要按照基2倒序的原则进行重排，输出数据为正常顺序，倒序算法另外叙述。下面首先用递归的形式进行算法的描述，由于递归方法没有充分利用DIT2算法的优点---原位计算，因此递归形式只是为了描述的清晰。

void dit2rec(complex<double>*InData,complex<double>*OutData,int length,int sign)
{
   complex<double>*EvenData=new complex<double>(length/2);
   complex<double>*OddData  =new complex<double>(length/2);
   complex<double>*EvenResult=new complex<double>(length/2);
   complex<double>*OddResult=new complex<double>(length/2);
   int i,j;
   if(length==1)
   {
      OutData[0]=InData[0]/N;
      return;
   }
  for(i=0;i<length/2;i++)
  {
    EvenData[i]=InData[2*i];
    OddData[i]=InData[2*i+1];
  }
  dit2rec(EvenData,EvenResult,length/2,sign);
  dit2rec(OddData,EvenResult,length/2,sign);
  for(i=0;i<length/2;i++)
  {
    OutData[i]=EvenData+OddData*complex<double>(cos(2*pi*i/length),sin(sign*2*pi*i/length));
    OutData[i+length/2]=EvenData- OddData*complex<double>(cos(2*pi*i/length),sin(sign*2*pi*i/length));
  }
  delete[] EvenData,OddData,EvenResult,OddResult;
  return;
}

void dit2(complex<double>*Data,int Log2N,int sign)
{
   int i,j,k,step,length;
   complex<double> wn,temp,deltawn;
   length=1<<Log2N;
   for(i=1;i<=Log2N;i++)
   {
      wn=1;step=1<<i;deltawn=complex<double>(cos(2*pi/step),sin(sign*2.0*pi/step))；
      for(j=0;j<step/2;j++)
      {        
        for(i=0;i<length/step;i++)
        {
           temp=Data[i*step+step/2+j]*wn;
           Data[i*step+step/2+j]=Data[i*step+j]-temp;
           Data[i*step+j]=Data[i*step+j]+temp;
         }
        wn=wn*deltawn;
      }
    }
    if(sign==-1)
       for(i=0;i<length;i++)
            Data[i]/=length;
 }

void dit2(complex<double>*Data,int Log2N,int sign)
{
   int i,j,k,step,length;
   complex<double> wn,temp,deltawn;
  length=1<<Log2N;
   for(i=0;i<length;i+=2)
   {
      temp=Data[i];
      Data[i]=Data[i]+Data[i+1];
      Data[i+1]=temp-Data[i+1];
   }
   for(i=2;i<=Log2N;i++)
   {
      wn=1;step=1<<i;deltawn=complex<double>(cos(2.0*pi/step),sin(sign*2.0*pi/step));；
      for(j=0;j<step/2;j++)
      {        
        for(i=0;i<length/step;i++)
        {
           temp=Data[i*step+step/2+j]*wn;
           Data[i*step+step/2+j]=Data[i*step+j]-temp;
           Data[i*step+j]=Data[i*step+j]+temp;
         }
         wn=wn*deltawn;
      }
   }
   if(sign==1)
   for(i=0;i<length;i++)
     Data[i]/=length;
}

//DIF2的递归版本实现：
void dif2rec(complex<double>*InData,complex<double>*OutData,int length,int sign)
{
   complex<double>* LData=new complex<double>(length/2);
   complex<double>* LResult=new complex<double>(length/2);
   complex<double>* RData=new complex<double>(length/2);
   complex<double>* RResult=new complex<double>(length/2);
   complex<double> temp;
   int i;
if(length==1)
   {
       OutData[0]=InData[0];
       return;
}
for(i=0;i<length/2;i++)
{
   LData[i]=InData[i];
   RData[i]=InData[i+length/2];
}
for(i=0;i<length/2;i++)
{
   temp=LData[i];
   LData[i]=LData[i]+RData[i];
   RData[i]=(temp-RData[i])* complex<double>(cos(2*pi*i/length),sin(sign*2*pi*i/length))
}
dit2rec(LData,LResult,length/2,sign);
dit2rec(RData,RResult,length/2,sign);
   for(i=0;i<length/2;i++)
   {
      OutData[2*i]=LResult[i];
      OutData[2*i+1]=RResult[i];
}
return;
}

//非递归实现如下（现不考虑输入的倒序数问题）：
void dif2(complex<double>*InData,int r,int sign)
{
int length=1<<r;
int i,j,k,step;
complex<double> temp,wn;
for(i=1;i<=r;i++)
{
   step=1<<(r-i+1);
   wn=1;
   for(j=0;j<step/2;j++)
   {
      for(k=0;k<step/2;k++)
      {
         temp=InData[k*step+j];
         InData[k*step+j]=InData[k*step+j]-InData[k*step+step/2+j];
         InData[k*step+step/2+j]=(temp-InData[k*step+step/2+j])*wn;
}
wn=wn*complex<double>(cos(2*pi/step*j),sin(sign*2*pi/step*j));
}
}
}

和DIT一样，最外层的最后一个循环可以另外独立出来，因为最后一个循环没有必要进行复数运算，这样可以减少复数运算的次数。

基四时间抽选快速傅立叶算法

几种快速傅里叶变换(FFT)的C++实现

标签：

原文地址：http://www.cnblogs.com/Free-Thinker/p/4759955.html