Andrew Ng Machine Learning - Week 4 & 5- Neural Networks

此文是斯坦福大学，机器学习界 superstar — Andrew Ng 所开设的 Coursera 课程：Machine Learning 的课程笔记。力求简洁，仅代表本人观点，不足之处希望大家探讨。
课程网址：https://www.coursera.org/learn/machine-learning/home/welcome

Week 1: Introduction 笔记：http://blog.csdn.net/ironyoung/article/details/46845233
Week 2：Linear Regression with Multiple Variables笔记：http://blog.csdn.net/ironyoung/article/details/47129523
Week 3：Logistic Regression & Regularization笔记：http://blog.csdn.net/ironyoung/article/details/47398843

Week 4 & 5：Neural Network

1. 由XOR Problem想到

   1. 有一种经典的非线性问题：XOR，也就是异或。真值表如下：
      0 0 | 0
      1 0 | 1
      1 1 | 0
      0 1 | 1，| 左侧是输入x,y，| 右侧是输出 z
      如果在二维坐标系上绘图，可以看出来仅利用一条直线是无法对这个问题分类的，也就是线性不可分问题。
   2. 如果利用逻辑回归的方法，可以枚举各种特征的出现可能，即z=g(θ0+θ1x+θ2y+θ3xy+θ4x2y+...)
   3. 继续想下去，如果基础特征量更多的话？x1,x2,...,x100就会出现过拟合的问题，同时带来极大的计算量。
      例如，计算机视觉中处理一张照片，每个像素都需要一个数值表示。对于100*100像素值的图片，仅仅考虑二次项等级，就有特征数量为(10000)2/2个（xy与yx相同，故除以2）。
      于是，这章介绍的非线性分类器，神经网络（Neural Network，NN）就发挥了作用。

2. 人工神经网络

   1. 神经网络最初提出的初衷，是因为要模拟人类大脑的结构（很初级的模拟，因为人类对于自己大脑究竟是怎样都没有弄清楚）。通过多个感知机之间的输入输出，从而完成整体的智能行为。在人工神经网络中，“感知机”就是一个有着输入与输出功能的小单元，接收上一层的输入，将输出传给下一层。
   2. 人工神经网络是层级结构，某一层上的单元之间互相不会有输入输出关系，只和上一层或者下一层的单元产生数据传输关系。至少会有两层：输入层（input layer）与输出层（output layer），但是两层的神经网络可以解决的问题很少，一般都是三层或者三层以上，中间的这些层就称为“隐藏层（hidden layer）”，我们来看一个最简单的例子：
      
      解释一下这张图，a(i)表示的是第 i 层上所有单元中的数值，a(i)j表示的是第 i 层上第 j 个单元中的数值。
      为什么不直接用 x 来代替 a(1) 呢？因为 a(1) 中增加了 a(1)0=1，在乘以权值后产生了 bias，也就是为下一层每个单元内数值增加一个常数偏移量。
      θ是单元之间的传递权值，θ(i)表示的是第 i 层到 (i+1) 层上所有单元之间的权值。如果第 i 层上的单元个数为 Si 个，所以得到 θ(i) 的矩阵元素个数为 Si+1?(Si+1)，+1是因为第 i 层上增加的元素 ai0。
      g(x) 就是 Week 3 笔记中提到的 sigmoid 函数。
      输出层得到：hθ(x)=a(3)=g(θ(2)a(2))=g(θ(2)?g(θ(1)a(1)))
   3. 由输入层，到隐藏层，最终到输出层。这是一次 forward propogation 过程。类似于逻辑回归，但是神经网络的输入是某个样本的所有基础特征，不需要考虑 x1x2,x2x3 这一类新加入的特征。

3. 回到XOR Problem

   1. 先讲几个基础的利用神经网络进行二进制运算分类的问题：

      • 二进制 AND
        
        即为hθ(x)=g(?30+20x1+20x2)，只有(x1,x2)=(1,1) 时返回值才为1，符合 AND 的操作结果。

      • 二进制 OR
        
        即为hθ(x)=g(?10+20x1+20x2)，只有(x1,x2)=(0,0) 时返回值才为0，符合 OR 的操作结果。

      • 二进制 NOT
        
   2. XOR 问题复杂一些，但是如果我们做了如下转换：
      x1 XNOR x2 = NOT(x1 XOR x2) = (x1 AND x2) OR ((NOT x1) AND (NOT x2))
      变换的正确性，很容易通过真值表来验证。大家可以分别计算各个括号中的内容，然后通过 OR 连接起来。
      我们将 (x1 AND x2) 的内容视为 a(2)1，((NOT x1) AND (NOT x2)) 的内容视为 a(2)2
      

4. 神经网络多类分类

   1. 神经网络处理多类的分类问题是很方便的。举个例子，区分手写数字时，有10个类别：0，1，2，……，9。对于某一个训练样本来说，有着特征组合x(i)=(x(i)0,x(i)1,...)，输出是y(i)=5，将其改为y(i)=(0000010000)T，因此这个神经网络的输出层有10个单元。当输出层的10个单元全部取 0，意味着输入不是任何一种数字。
   2. 对于手写数字的识别，一直是业界的研究重点之一。视频中举了一篇经典的利用神经网络处理该问题的Paper，有兴趣的同学可以访问作者的个人主页查看Demo与Paper：Yann LeCun

Week 4 的内容到此为止，Week 5的内容等从帝都回来再说啦~
编程作业答案：https://github.com/cnauroth/machine-learning-classd