扩展欧几里得算法求解不定方程【例 poj 1061】

标签：

扩展欧几里得算法是数论当中一种常用的算法，他可以用如下的姿势来表达：

设a, b为不全为0的整数，则存在整数x和y，使得 gcd(a, b) = a*x + b*y。

证明就略去。

树上还有一个拉梅定理：用欧几里得算法计算两个正整数的最大公因子时，所需要的除法次数不会超过两个整数中较小的那个十进制数的倍数的5倍。

拉梅定理的一个推论：求两个正整数a, b， a > b的最大公因子需要O(log₂a)³次的位运算。

至于拉梅定理有什么用，暂时还没有研究=—=。

例1 求225和21的最大公因子s，并将s表示成225和21的线性组合。

解：

　　gcd(225, 21) = 3

　　225 = 10*21 + 15, 21 = 1*15 + 6, 15 = 2*6 + 3, 6 = 2*3 + 0。

　　于是我们有 3 = 15 - 2*6 = 15 - 2*(21 - 1*15) = 3*15 - 2*21 = 3*(225 - 10*21) - 2*21 = 3*225 - 32*21。

扩展欧几里得算法的代码实现：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #define ll long long
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
 8 {
 9     if(b == 0)
10     {
11         x = 1, y = 0;
12         return a;
13     }
14     else
15     {
16         ll r = extend_gcd(b, a%b, y, x);
17         y -= x*(a/b);
18         return r;
19     }
20 }

　　这个函数的时间复杂度为O(logN)， 其中N与a, b同阶。函数的参数a, b即为等式当中的两个参数，x和y传引用，可以从过程当中求出x和y，返回值是gcd(a, b)。

　　调用后可以求出满足a*x + b*y = gcd(a, b)的各个参数。

　　对于形如a*x₀ + b*y₀ = n的不定方程为了求解x₀和y_0，可以通过扩展欧几里得先求出满足a*x + b*y = gcd(a, b)的x和y。容易得到，若gcd(a, b)|(x-y)，则该不定方程有整数解，否则无符合条件的整数解。得到x和y后，可以通过x₀ = x*n / gcd(a, b)求出x₀.

　　由于在实际问题当中，我们需要的往往是最小整数解，我们可以通过下面的方法求出最小整数解：

　　　　　　令t = b/gcd(a, b)，x是方程a*x + b*y = n的一个特解，则x_min = (x % t + t) % t

下面上例题 poj 1061--青蛙的约会

Description

Input

Output

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

Source

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #define ll long long
 4 
 5 using namespace std;
 6 
 7 ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
 8 {
 9     if(b == 0)
10     {
11         x = 1, y = 0;
12         return a;
13     }
14     else
15     {
16         ll r = extend_gcd(b, a%b, y, x);
17         y -= x*(a/b);
18         return r;
19     }
20 }
21 
22 int main()
23 {
24     ll x, y, m, n, l;
25     while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d", &x, &y, &m, &n, &l))
26     {
27         ll t, p;
28         ll ans = extend_gcd(n-m, l, t, p);
29         if((x-y) % ans)
30             printf("Impossible\n");
31         else
32         {
33             //求最小整数解的算法
34             t = (x-y)*t/ans;                        //首先令x为一个特解
35             t = (t % (l/ans)+(l/ans)) % (l/ans);    //再根据公式计算
36             printf("%I64d\n", t);
37         }
38     }
39 }

扩展欧几里得算法求解不定方程【例 poj 1061】

标签：

原文地址：http://www.cnblogs.com/r-wang/p/4779147.html