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题目大意：
给定k，找到一个满足的a使任意的x都满足 f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x 被65整除
推证：
f(x) = (5*x^12 + 13 * x^4 + ak) * x
因为x可以任意取 那么不能总是满足 65|x
那么必须是 65 | (5*x^12 + 13 * x^4 + ak)
那么就是说 x^12 / 13 + x^4 / 5 + ak / 65 正好是一个整数
假设能找到满足的a ， 那么将 ak / 65 分进x^12 / 13 + x^4 / 5中得到 （x^12+t1 ) / 13 + (x^4+t2) / 5 这两项均为整数
那么5*t1+13*t2 = ak
而这里 13|（x^12+t1 ) 5| (x^4+t2)
这里13 ， 5均是素数
根据费马小定理可得 x^12 = 1 mod13 x^4 = 1 mod 5
那么t1 = 12 + 13*k1 , t2 = 4 + 5*k2
将t1 t2带入5*t1+13*t2 = ak
那么就是5*(12 + 13*k1) +13*(4 + 5*k2) = ak
->65（k1+k2)+112 = ak
这里k已知 ， 求a看做y ， k1+k2为整数，看成是x即可
那么就是求65x+ay=-112
这里就是求扩展欧几里得了
1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <cmath> 5 #include <ctime> 6 #include <cstdlib> 7 #include <vector> 8 9 using namespace std; 10 #define ll long long 11 #define N 500 12 #define pii pair<int,int> 13 14 void ex_gcd(ll a , ll b , ll &x , ll &y , ll &d) 15 { 16 ll t; 17 if(b==0){d=a,x=1,y=0;} 18 else{ 19 ex_gcd(b , a%b , x , y , d); 20 t=x , x=y , y=t-a/b*y; 21 } 22 } 23 24 25 int main() { 26 // freopen("a.in" , "r" , stdin); 27 // freopen("out.txt" , "w" , stdout); 28 int a; 29 while(~scanf("%d" , &a)){ 30 ll x , y , d; 31 ex_gcd((ll)65 , (ll)a , x , y , d); 32 if(112%d!=0) puts("no"); 33 else{ 34 printf("%I64d\n" , ((112/d*y%65)+65)%65); 35 } 36 } 37 }
HDU 1098 Ignatius's puzzle 费马小定理+扩展欧几里德算法
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原文地址：http://www.cnblogs.com/CSU3901130321/p/4799159.html
