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树状数组(Binary Indexed Tree(BIT), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可 以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值，且其常数之小是线段树无法做到的。
如图，其中a数组保存了初始读入的n个值，c数组即为我们构建的树状数组。
那么容易发现：
function lowbit(x:longint):longint; begin exit(x and (-x)); end;
为什么要用这样一个函数呢？事实上经过测试我们发现，对于1-n内某数x，lowbit（x）表示其“管辖”着从它向后共2^lowbit（x）个数的和，而通过这种方法我们可以在不超过logn的时间内求出所有的lowbit加和，得到的就是该长度下的前缀和。
不难证明，对于1-n内的两个数i，j，满足i<=j，sum（i，j）=sum（1，j）-sum（1，i-1）；
故对于任意区间，我们都可以用这种方法求解该区间内所有值的和，代码贴上
function sum(l,r:longint):longint; var s1,s2:longint; ans1,ans2:longint; begin s1:=l-1; s2:=r; ans1:=0; ans2:=0; while s1>0 do begin inc(ans1,bit[s1]); dec(s1,lowbit(s1)); end; while s2>0 do begin inc(ans2,bit[s2]); dec(s2,lowbit(s2)); end; exit(ans2-ans1); end;
理解代码后建议自己打一遍，代码细节很多比较容易错
那么对于这样一棵树，它是怎么被构造出来的呢？
procedure in_in(pos,x:longint); begin while pos<=n do begin inc(bit[pos],x); inc(pos,lowbit(pos)); end; end;
当然，对于这样一个神奇的数据结构我们必须了解它的局限性，即——无法进行区间修改（神犇别跟我说什么可以的话，一旦区间修改就只能单点查询一般用不到好的不送= =）
而单点修改也并非仅修改原来的a数组，而是同时修改你所用的“带有区间性质”的数组
单点修改分两种：
1）将一个点的值增加或减少某个值
方法：将其值修改后，用lowbit求出其父节点及之上的节点
直接贴代码，如果lowbit理解深入一定能看懂
procedure change2(x,y:longint); begin while x<=n do begin inc(bit[x],y); inc(x,lowbit(x)); end; end;
2）讲一个点的值改成另一个值
方法：很简单，求出修改后值和修改前值的差即可，再一次变成方法一修改233
代码贴一个
procedure change1(x,y:longint); var ans1,ans2:longint; s1,s2:longint; begin s1:=y-a[x]; s2:=x; while s2<=n do begin inc(bit[s2],s1); inc(s2,lowbit(s2)); end; end;
就是这样，以上所有的代码都可以直接使用，加上变量和主程序就是一个完整的代码。
以上就是本人对于树状数组的一点小心得，如果有问题加我qq：1064864324，记得加备注。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/victorslave/p/4803277.html
