拓扑排序-图论

如果我们有一组任务完成，而有些任务人才的其他任务结束后开始。因此，我们必须非常小心，这些任务的运行顺序。

假设这些任务很简单的字的运行顺序，我们可以用它们来存储列表，这是一个非常好的方案，这样我们就可以知道运行秩序完全任务。

间的关系是非常复杂的。有些任务依赖于两个甚至很多其它的任务，或者反过来非常多任务依赖自己。

因此我们不能通过链表或者树的数据结构来对这个问题建模。对这类问题唯一合理的数据结构就是图。我们须要哪种图呢？非常显然，我们须要有向图来描写叙述这样的关系，并且是不能循环的有向图，我们称之为有向无环图。要通过拓扑排序对图形进行排序，这些图必须是不能循环和有向的。

为什么这些图不能循环呢？答案非常明显，假设图形是循环的。我们无法知道哪个任务该优先运行，也不可能对任务进行排序。如今我们一要做的是对图中的每一个节点排序。组成一条条边（u。v）。u在v之前运行。

然后我们就能够得到全部任务的线性顺序。并按这样的顺序运行任务就一切都OK了。

比如,以下的图的一个拓扑排序是“5 4 2 3 1 0”。一个图能够有多个拓扑排序。

还有一个拓扑排序是“4 5 2 3 1 0”。拓扑排序的第一个顶点总是入度为0。

方法一
如今我们能够得到这个算法的基本步骤：

1.构造空列表 L和S；
2.把全部没有依赖节点(入度为0)的节点放入L；
3.当L还有节点的时候，运行以下步骤：
3.1     L中拿出一个节点ｎ（从L中remove掉），并放入S
3.2         对每个邻近n的节点m，
3.2.1           去掉边（n,m）;（表示增加终于结果集S）
3.2.2           假设m没有依赖节点（入度为零），把m放入L;

核心就是：每次都选取入度为0的节点，再更新其相邻的节点的入度 。

这个是相对照较直观的算法，也是常见的一种算法。我们用一个数组degree[]记录全部顶点的入度。

删除点时更新该数组。
參考以下代码函数：topologicalSort1()

方法二
第二种方法是參考DFS，对图的深度优先遍历做些改动。

我们确信在有向图中假设存在一条边（u，v），那么顶点u会先于顶点v进入列表中。因此在深度遍历时，用栈来存储遍历的顺序。參考以下代码的函数：topologicalSort2()

C++实现

// C++实现的拓扑排序算法
#include<iostream>
#include <list>
#include <stack>
using namespace std;

// 图类
class Graph
{
    int V;    //顶点个数

    // 邻接表
    list<int> *adj;
    // 拓扑排序方法 2的辅助函数
    void topologicalSortRecall(int v, bool visited[], stack<int> &Stack);

public:
    Graph(int V);

     // 加入边
    void addEdge(int v, int w);

    //拓扑排序普通方法
    void topologicalSort1();

    // 拓扑排序方法二
    void topologicalSort2();
};

Graph::Graph(int V)
{
    this->V = V;
    adj = new list<int>[V];
}

void Graph::addEdge(int v, int w)
{
    adj[v].push_back(w); //
}

//相似深度优先遍历。将和V相邻的顶点（且为訪问过的）放入栈中
void Graph::topologicalSortRecall(int v, bool visited[], stack<int> &stk)
{
    //标记v为訪问过的
    visited[v] = true;

    // 对每一个顶点进行递归调用
    list<int>::iterator i;
    for (i = adj[v].begin(); i != adj[v].end(); ++i)
        if (!visited[*i])
            topologicalSortRecall(*i, visited, stk);

    // 保存顶点
    stk.push(v);
}

// 方法二，使用递归调用实现拓扑排序
void Graph::topologicalSort2()
{
    stack<int> stk;
    bool *visited = new bool[V];
    for (int i = 0; i < V; i++)
        visited[i] = false;

    //每一个顶点都调用一次
    for (int i = 0; i < V; i++)
      if (visited[i] == false)
        topologicalSortRecall(i, visited, stk);

    // 打印
    while (stk.empty() == false)
    {
        cout << stk.top() << " ";
        stk.pop();
    }
}

// 方法一
void Graph::topologicalSort1()
{
	list<int>::iterator j;
	int degree[V];
	//遍历全部的边，计算入度
	for(int i=0; i<V; i++){
		degree[i] = 0;
		for (j = adj[i].begin(); j != adj[i].end(); ++j){
			degree[*j]++;
		}
	}
	list<int> zeroNodes;//全部入度为0的点
	list<int> result;//全部入度为0的点
	for(int i=0; i<V; i++){
		if(degree[i] == 0){
			zeroNodes.push_back(i);
		}
	}
	while(zeroNodes.size() > 0){
		int top = zeroNodes.back();
		zeroNodes.pop_back();
		result.push_back(top);
		for (j = adj[top].begin(); j != adj[top].end(); ++j){
			degree[*j]--;//删除和top相邻的边，并更新其他顶点的入度
			if(degree[*j] == 0) zeroNodes.push_back(*j);
		}
	}

	//打印结果
	for(j= result.begin(); j != result.end(); j++)
		cout << (*j) << " ";
}

int main()
{
    // 创建文中所以的图
    Graph g(6);
    g.addEdge(5, 2);
    g.addEdge(5, 0);
    g.addEdge(4, 0);
    g.addEdge(4, 1);
    g.addEdge(2, 3);
    g.addEdge(3, 1);

    cout << "Following is a Topological Sort of the given graph using  topologicalSort1\n";
    g.topologicalSort1();
    cout << endl;
    cout << "Following is a Topological Sort of the given graph using  topologicalSort2\n";
    g.topologicalSort2();
    return 0;
}