RMQ问题ST算法

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1. 概述

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题，下面介绍一下解决这两种问题的比较高效的算法。当然，该问题也可以用线段树（也叫区间树）解决，算法复杂度为：O(N)~O(logN)，这里我们暂不介绍。

2.RMQ算法

对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法无法在有效的时间内查询出正解。

本节介绍了一种比较高效的在线算法（ST算法）解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

（一）首先是预处理，用动态规划（DP）解决。

设A[i]是要求区间最值的数列，F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）

F[i,0]就等于A[i]

例如：

A数列为：3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

F[1，0]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。同理 F[1,1] = max(3,2) = 3, F[1，2]=max(3,2,4,5) = 5，F[1，3] = max(3,2,4,5,6,8,1,2) = 8;

并且我们可以容易的看出F[i,0]就等于A[i]。（DP的初始值）

这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

我们把F[i，j]平均分成两段（因为f[i，j]一定是偶数个数字），从 i 到i + 2 ^ (j - 1) - 1为一段，i + 2 ^ (j - 1)到i + 2 ^ j - 1为一段(长度都为2 ^ (j - 1))。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F[i，j]就是这两段各自最大值中的最大值。于是我们得到了状态转移方程F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）。

（二）然后是查询。

如查询区间[l,r]的最大值，区间长度为 l-r+1 令k=log(l-r+1)/log(2) 即取区间长度的2的对数

query(l,r)=max(F(l,k),F(r-2^k+1,k))

举例说明，要求区间[2，8]的最大值，k = log2（8 - 2 + 1）= 2，即求max(F[2, 2]，F[8 - 2 ^ 2 + 1, 2]) = max(F[2, 2]，F[5, 2])；

模板题：

HDU5443

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
//F[i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值
//F[i, j]=max（F[i，j-1], F[i + 2^(j-1)，j-1]）
int n,a[1010];
int dp[1010][20];
void rmq()
{
    for(int i=0;i<n;i++)dp[i][0]=a[i];
    for(int j=1;j<20;j++)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(i+(1<<j)-1>=n)break;
            dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}
int query(int l,int r)
{
    int k=log(r-l+1)/log(2);
    return max(dp[l][k],dp[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        rmq();
        int Q;
        scanf("%d",&Q);
        while(Q--)
        {
            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            printf("%d\n",query(a-1,b-1));
        }
    }
    return 0;
}

RMQ问题ST算法

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原文地址：http://www.cnblogs.com/kylehz/p/4820972.html