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【算法题目】约瑟夫环问题

时间:2015-09-19 16:46:31      阅读:156      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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  题目来源:《剑指offer》面试题45

  题目:0,1,。。。,n-1这n个数字排成一个圆圈,从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

  

解法一:经典解法,用环形链表模拟圆圈。这种方法每删除一个数字需要m步运算,总共有n个数字,因此总的时间复杂度是O(mn).同时这种思路还需要一个辅助链表来模拟圆圈,其空间复杂度是O(n)。

int LastRemaining(unsigned int n, unsigned int m) {
    if (n < 1 || m < 1)
        return -1;

    list<int> nums;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums.push_back(i);

    list<int>::iterator iter = nums.begin();
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        for (int j = 1; j < m - 1; ++j) {
            iter++;
            if (iter == nums.end())
                iter = nums.begin();
        }
        list<int>::iterator next = ++iter;
            --iter;
        if (next == nums.end())
            next = nums.begin();
        nums.erase(iter);
        iter = next;
    }

    return *iter;
}

 

解法二:

  我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x‘=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

  

#include <stdio.h>
int main()
{
    int n, m, i, s = 0;
    printf ("N M = ");
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        s = (s + m) % i;
    }
    printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
}

 

参考资料:

  1. http://www.cnblogs.com/EricYang/archive/2009/09/04/1560478.html

【算法题目】约瑟夫环问题

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原文地址:http://www.cnblogs.com/vincently/p/4821637.html

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