逻辑回归（LogisticRegression）--python实现

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1、概述

　　Logistic regression（逻辑回归）是当前业界比较常用的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性。

　　在经典之作《数学之美》中也看到了它用于广告预测，也就是根据某广告被用 户点击的可能性，把最可能被用户点击的广告摆在用户能看到的地方，然后叫他“你点我啊！”用户点了，你就有钱收了。这就是为什么我们的电脑现在广告泛滥的 原因。还有类似的某用户购买某商品的可能性，某病人患有某种疾病的可能性啊等等。这个世界是随机的（当然了，人为的确定性系统除外，但也有可能有噪声或产生错误的结果，只是这个错误发生的可能性太小了，小到千万年不遇，小到忽略不计而已），所以万物的发生都可以用可能性或者几率（Odds）来表达。“几率”指的是某事物发生的可能性与不发生的可能性的比值。

       Logistic regression可以用来回归，也可以用来分类，主要是二分类。

2、基本理论

2.1Logistic regression和Sigmoid函数

　　回归：假设现在有一些数据点，我们用一条直线对这些点进行拟合（该条称为最佳拟合直线），这个拟合过程就称作回归。利用Logistic回归进行分类的思想是：根据现有数据对分类边界线建立回归公式，以此进行分类。这里的“回归”一词源于最佳拟合，表示找到最佳拟合参数，使用的是最优化算法。

　　Sigmoid函数具体的计算公式如下：

　　        z=w₀x₀+w₁x₁+w₂x₂+...+w_nx_n， z=w^Tx 　其中w是我们要找的最佳参数（系数），x是分类器的输入数据特征。

　　当x为0时，Sigmoid函数值为0.5，随着x的增大，对应的Sigmoid值将逼近于1；而随着x的减小，Sigmoid值将逼近于0。如果横坐标刻度足够大（如下图所示），Sigmoid函数看起来很像一个阶跃函数。

　　为了实现Logistic回归分类器，我们可以在每个特征上都乘以一个回归系数，然后把所有结果值相加，将这个总和代入Sigmoid函数中，进而得到一个范围在0-1之间的数值。任何大于0.5的数据被分入1类，小于0.5即被归入0类。所以，Logistic回归也可以被看作是一种概率估计。

2.2最优化理论

 　　由上述问题得到，我们现在的问题变成了：最佳回归系数时多少？

　　  z=w₀x₀+w₁x₁+w₂x₂+...+w_nx_n， z=w^Tx 

　　向量x是分类器的输入数据，向量w是我们要找的最佳参数（系数），从而使得分类器尽可能地精确，为了寻找最佳参数，需要用到最优化理论的一些知识。

　　下面首先介绍梯度上升的最优化方法，我们将学习到如何使用该方法求得数据集的最佳参数。接下来，展示如何绘制梯度上升法产生的决策边界图，该图能将梯度上升法的分类效果可视化地呈现出来。最后我们将学习随机梯度上升法，以及如何对其进行修改以获得更好的结果。

2.2.1梯度上升法

　　梯度上升法的基于的思想是：要找到某函数的最大值，最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻。则函数f(x,y)的梯度由下式表示：

　　这个梯度意味着要沿x方向移动，沿y方向移动，其中，函数f(x,y)必须要在待计算的点上有定义并且可微。具体的函数例子如下图所示：

　　　　　　注释：梯度上升算法到达每个点后都会重新估计移动的方向。从P0开始，计算完该点的梯度，函数就根据梯度移动到下一点P1。在P1点，梯度再次被重新计算，并沿新的梯度方向移动到P2。如此循环迭代，直到满足停止条件。迭代过程中，梯度算子总是保证我们能选取到最佳的移动方向。

　　可以看到，梯度算子总是指向函数值增长最快的方向。这里所说的是移动方向，而未提到移动量的大小。该量值称为歩长，记作

逻辑回归（LogisticRegression）--python实现

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