常见算法笔记

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刷题过程中学了很多算法，但是都没有做个笔记==，写一下稍微留个印象~

1.曼彻斯特算法

首先用一个非常巧妙的方式，将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度：在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。 为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#（注意，下面的代码是用C语言写 就，由于C语言规范还要求字符串末尾有一个‘\0‘所以正好OK，但其他语言可能会导致越界）。

下面以字符串12212321为例，经过上一步，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度（包括S[i]，也就是把该回文串“对折”以后的长度），比如S和P的对应关系：

S  #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #
P  1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1
(p.s. 可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度）

那么怎么计算P[i]呢？该算法增加两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。

然后可以得到一个非常神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：如果mx > i，那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。就是这个串卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点，理解起来会简单很多：

当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是 说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，就只能老老实实去匹配了。

对于 mx <= i 的情况，无法对 P[i]做更多的假设，只能P[i] = 1，然后再去匹配了。

实现代码：

 1 char ch1[1000010];
 2 char ch2[2000010];
 3 int p[2000010];
 4 
 5 void build()
 6 {
 7     ch2[0] = ‘@‘;
 8     ch2[1] = ‘#‘;
 9     int i, len = strlen(ch1);
10     for (i = 0; i < len; ++i)
11     {
12         ch2[2*i+2] = ch1[i];
13         ch2[2*i+3] = ‘#‘;
14     }
15     ch2[2*i+2] = ‘\0‘;
16 }
17 
18 int solve()
19 {
20     p[0] = p[1] = 1;
21     int id = 1, mx = 2, maxlen = 0;
22     for (int i = 2; ch2[i]; ++i)
23     {
24         p[i] = mx > i ? min(p[2*id-i], mx-i) : 1;
25         while (ch2[i+p[i]] == ch2[i-p[i]]) p[i]++;
26         if (i+p[i] > mx)
27         {
28             mx = i+p[i];
29             id = i;
30         }
31         maxlen = max(maxlen, p[i]-1);
32     }
33     return maxlen;
34 }

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原文地址：http://www.cnblogs.com/JustForCS/p/4903105.html