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素数是除了自身和1以外，没有其它素数因子的自然数。自从欧几里得证明了有无穷个素数以后，人们就企图寻找一个可以构造所有素数的公式，寻找判定一个自然数是不是素数的方法。因为素数的地位非常重要。
鉴别一个自然数是素数还是合数，这个问题在中世纪就引起人们注意，当时人们试图寻找质数公式，到了高斯时代，基本上确认了简单的质数公式是不存在的，因此，高斯认为对素性判定是一个相当困难的问题。从此以后，这个问题吸引了大批数学家。 素性判断算法可分为两大类，确定性算法及随机算法。前者可给出确定的结果但通常较慢，后者则反之。
这里主要讲米勒拉宾算法，最后提供c++实现代码。
要测试 
是否为素数，首先将 
分解为 
。在每次测试开始时，先随机选一个 介于 
的整数 
，之后如果对所有的 
，若
且 
，则 N 是合数。否则， 有 
的概率为素数。
Miller- Rabin算法随机生成底数a，进行多次调用函数进行测试，Miller-Rabin检测也存在伪素数的问题，但是与费马检测不同，MR检测的正确概率不 依赖被检测数p，而仅依赖于检测次数。已经证明，如果一个数p为合数，那么Miller-Rabin检测的证据数量不少于比其小的正整数的3/4，换言 之，k次检测后得到错误结果的概率为(1/4)^k。我们在实际应用中一般可以测试15~20次。
1 #include <iostream> 2 #include <cmath> 3 using namespace std; 4 5 long long qpow(int a,int b,int r)//快速幂 6 { 7 long long ans=1,buff=a; 8 while(b) 9 { 10 if(b&1)ans=(ans*buff)%r; 11 buff=(buff*buff)%r; 12 b>>=1; 13 } 14 return ans; 15 } 16 bool Miller_Rabbin(int n,int a)//米勒拉宾素数测试 17 { 18 int r=0,s=n-1,j; 19 if(!(n%a)) 20 return false; 21 while(!(s&1)){ 22 s>>=1; 23 r++; 24 } 25 long long k=qpow(a,s,n); 26 if(k==1) 27 return true; 28 for(j=0;j<r;j++,k=k*k%n) 29 if(k==n-1) 30 return true; 31 return false; 32 } 33 bool IsPrime(int n)//判断是否是素数 34 { 35 int tab[]={2,3,5,7}; 36 for(int i=0;i<4;i++) 37 { 38 if(n==tab[i]) 39 return true; 40 if(!Miller_Rabbin(n,tab[i])) 41 return false; 42 } 43 return true; 44 } 45 int main() 46 { 47 long long n; 48 while(1) 49 { 50 cin >> n; 51 cout << IsPrime(n)<< endl; 52 } 53 54 return 0; 55 }
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