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问题描述：
最短路问题（short-path problem）：若网络中的每条边都有一个数值（长度、成本、时间等），则找出两节点（通常是源节点和阱节点）之间总权和最小的路径就是最短路问题。最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
1.floyd算法
算法描述：
Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
时间复杂度：O（n^3） 空间复杂度：O（n^2）
可以看下这篇文章，讲得非常清楚：http://blog.chinaunix.net/uid-26548237-id-3834873.html
下面就讲下我对这个算法的理解：
首先这个算法能做的事，就是寻找给定的加权图中多源点之间最短路径
也就是这张图：
这里有N个点，互相之间的路径长度不一，怎么求其中任意两点的最短路径。
floyd算法的思路就是从比较入手，比较两点直接连通和隔一个点连通的长度。
从v0开始，遍历任意两个点，寻找有没有两个点通过v0的最短路径比这两点直接连通的要短。
比如v0和v2，要比较这两个点直接连通和隔一个点连通的长度。从图上可知，v0-v2的最短路径是经过v1,走0-1-2，而不是直接0-2。所以结果是经过v1比直接连通要短。
再比如v0和v4，要比较这两个点直接连通和隔一个点连通的长度，但v0和v4没有直接连通怎么办，就设v0-v4直接连通的长度是无穷大，这样不管是经过v1还是经过v2，都比直接连通的长度要短。
找到后怎么办，就把最短的长度和路径结果保存起来，以此再遍历下一个点v1，继续比较。
全部遍历一遍后，就可以得到任意两点之间的最短路径了。
具体实现如下：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 4 #define MAXVEX 20 5 #define MAXEDGE 20 6 #define INFINITY 65535 7 8 9 10 typedef struct 11 { 12 int vexs[MAXVEX]; 13 int arc[MAXVEX][MAXVEX]; 14 int numVertexes,numEdges; 15 }MGraph; 16 17 typedef int Patharc[MAXVEX][MAXVEX]; 18 typedef int ShortPathTable[MAXVEX][MAXVEX]; 19 20 void CreateGraph(MGraph* G) 21 { 22 cout<<"请输入边数和顶点数:\n"; 23 int d,n,i,j; 24 cin>>d>>n; 25 G->numVertexes = n; 26 G->numEdges = d; 27 28 //给顶点和边初始化 29 for(i = 0;i<G->numVertexes;i++) 30 G->vexs[i] = i; 31 for(i = 0;i<G->numVertexes;i++) 32 { 33 for(j = 0;j<G->numVertexes;j++) 34 { 35 if(i==j) 36 G->arc[i][j] = 0; 37 else 38 G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITY; 39 } 40 } 41 42 G->arc[0][1]=1; 43 G->arc[0][2]=5; 44 G->arc[1][2]=3; 45 G->arc[1][3]=7; 46 G->arc[1][4]=5; 47 48 G->arc[2][4]=1; 49 G->arc[2][5]=7; 50 G->arc[3][4]=2; 51 G->arc[3][6]=3; 52 G->arc[4][5]=3; 53 54 G->arc[4][6]=6; 55 G->arc[4][7]=9; 56 G->arc[5][7]=5; 57 G->arc[6][7]=2; 58 G->arc[6][8]=7; 59 60 G->arc[7][8]=4; 61 62 for(i = 0;i<G->numVertexes;i++) 63 { 64 for(j = i;j<G->numVertexes;j++) 65 { 66 G->arc[j][i] = G->arc[i][j]; 67 } 68 } 69 } 70 71 /* Floyd算法，求网图G中各顶点v到其余顶点w的最短路径P[v][w]及带权长度D[v][w]。 */ 72 void ShortestPath_Floyd(MGraph G, Patharc *P, ShortPathTable *D) 73 { 74 int v,w,k; 75 for(v = 0;v<G.numVertexes;v++) 76 { 77 for(w = 0;w<G.numVertexes;w++) 78 { 79 (*P)[v][w] = w; 80 /* 初始化P */ 81 (*D)[v][w] = G.arc[v][w]; 82 /* D[v][w]值即为对应点间的权值 */ 83 } 84 85 } 86 for(k = 0;k<G.numVertexes;k++) 87 { 88 for(v = 0;v<G.numVertexes;v++) 89 { 90 for(w = 0;w<G.numVertexes;w++) 91 { 92 if((*D)[v][w]>(*D)[v][k]+(*D)[k][w]) 93 { 94 (*D)[v][w] = (*D)[v][k]+(*D)[k][w]; 95 (*P)[v][w] = (*P)[v][k]; 96 } 97 98 } 99 100 } 101 } 102 103 } 104 105 106 int main() 107 { 108 int v,w,k=-1; 109 110 MGraph G; 111 112 Patharc P; 113 ShortPathTable D; 114 115 CreateGraph(&G); 116 117 ShortestPath_Floyd(G,&P,&D); 118 119 cout<<"各区间最短路径如下：\n"; 120 for(v = 0;v<G.numVertexes;v++) 121 { 122 for(w = v+1;w<G.numVertexes;w++) 123 { 124 cout<<"v"<<v<<"-v"<<w<<" weight: "<<D[v][w]; 125 k = P[v][w]; 126 cout<<" path: "<<v; 127 while(k!=w) 128 { 129 cout<<" -> "<<k; 130 k = P[k][w]; 131 } 132 cout<<" -> "<<w<<" "<<endl; 133 } 134 cout<<endl; 135 136 } 137 138 cout<<"最短路径D\n"; 139 140 for(v=0; v<G.numVertexes; ++v) 141 { 142 for(w=0; w<G.numVertexes; ++w) 143 { 144 cout<<D[v][w]<<" "; 145 } 146 cout<<endl; 147 } 148 149 cout<<"最短路径P\n"; 150 151 for(v=0; v<G.numVertexes; ++v) 152 { 153 for(w=0; w<G.numVertexes; ++w) 154 { 155 cout<<P[v][w]<<" "; 156 } 157 cout<<endl; 158 } 159 160 return 0; 161 162 163 }
算法优化：
floyd(权值非负)适用于有向图和无向图
1 floyd 的思想就是通过枚举n个点利用DP的思想来更新最短距离的，假设当前枚举到第k个点，那么就有任意的两个点i , j ，如果i k 相连 j k 相连 那么就可以知道这个时候dis[i][j] = min(dis[i][j] , dis[i][k] + dis[k][j]);，那么只要枚举完n个点，那么就说明已经完全更新完所有两点直间的最短路。
2 floyd算法是最简单的最短路径的算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。floyd算法的时间复杂度为o(n^3)，如果是一个没有边权的图，把相连的两点间的距离设为dis[i][j]=1.不相连的两点设为无穷大，用floyd算法可以判断i j两点是否相连。
3 floyd 算法不允许所有的权值为负的回路。可以求出任意两点之间的最短距离。处理的是无向图
4 缺点是时间复杂度比较高，不适合计算大量数据
5 如果dis[i][i] != 0，说明此时存在环。
6 如果利用floyd求最小值的时候，初始化dis为INF ， 如果是求最大值的话初始化为-1.
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原文地址：http://www.cnblogs.com/qlky/p/4963658.html
