现代优化算法 之 遗传算法

之前两篇转载的文章：

遗传算法入门到掌握（一）、遗传算法入门到掌握（二）

对遗传算法的数学推导讲解得非常详细，同时我也附带了一份遗传算法的C语言实现，这篇文章将要运用遗传算法对一个多项式求最小值，要求在(-8,8)间寻找使表达式达到最小的x，误差为0.001。

但是那篇文章仅仅讲解了关于本例的遗传算法的规则，并没有详细的算法过程。

这篇文章简介一下遗传算法的具体算法过程，并且用MATLAB实现遗传算法的代码，该算法将解决模拟退火一文中的例题。

遗传算法简介

遗传算法（Genetic Algorithms，简称 GA）是一种基于自然选择原理和自然遗传机制的搜索（寻优）算法，它是模拟自然界中的生命进化机制，在人工系统中实现特定目标的优化。遗传算法的实质是通过群体搜索技术，根据适者生存的原则逐代进化，最终得到最优解或准最优解。它必须做以下操作：初始群体的产生、求每一个体的适应度、根据适者生存的原则选择优良个体、被选出的优良个体两两配对，通过随机交叉其染色 体的基因并随机变异某些染色体的基因后生成下一代群体，按此方法使群体逐代进化，直到满足进化终止条件。其实现方法如下：

• （1） 根据具体问题确定可行解域，确定一种编码方法，能用数值串或字符串表示 可行解域的每一解。
• （2） 对每一解应有一个度量好坏的依据，它用一函数表示，叫做适应度函数，适 应度函数应为非负函数。
  
  • （3） 确定进化参数群体规模$M$ 、交叉概率$p_c$ 、变异概率$p_c$ 、进化终止条件。

为便于计算，一般来说，每一代群体的个体数目都取相等。群体规模越大、越容易找到最优解，但由于受到计算机的运算能力的限制，群体规模越大，计算所需要的时间也相应的增加。进化终止条件指的是当进化到什么时候结束，它可以设定到某一代进化结束，也可能根据找出近似最优是否满足精度要求来确定。表1 列出了生物遗传概念在遗传算法中的对应关系。

表1 生物遗传概念在遗传算法中的对应关

生物遗传概念	遗传算法中的作用
适者生存	算法停止时，最优目标值的解有最大的可能被留住
个体	解
染色体	解的编码
基因	解中每一分量的特征
适应性	适应度函数值
种群	根据适应度函数值选取的一组解
交配	通过交配原则产生一组新解的过程
变异	编码的某一分量发生变化的过程

模型及算法

我们用遗传算法研究上次提到的问题。

• 种群大小：$M = 50$
• 最大代数：$G = 1000$
• 交叉率： $p_c=1$ ，交叉概率为1 能保证种群的充分进化。
• 变异率： $p_m=0.1$ ， 一般而言，变异发生的可能性较小。

（1） 编码策略
采用十进制编码，用随机数列$ω_1,ω_2,\dots ,ω_{102}$ 作为染色体，其中 $0 < ω_i< 1 （i = 2,3,\dots ,101）$， $ω_1 = 0， ω_{102} =1$ ；每一个随机序列都和种群中的一个个体相对应，例如一个$9$ 城市问题的一个染色体为

$$[0.23，0.82，0.45，0.74，0.87，0.11，0.56，0.69，0.78]$$

其中编码位置$i$代表城市$i$，位置$i$的随机数表示城市$i$在巡回中的顺序，我们将这些随 机数按升序排列得到如下巡回：

$$6\rightarrow1\rightarrow3\rightarrow7\rightarrow8\rightarrow4\rightarrow9\rightarrow2\rightarrow5$$

（2） 初始种群 本文中我们先利用经典的近似算法—改良圈算法求得一个较好的初始种群。即对于初始圈$C=π_1…π_{u?1}π_uπ_{u+1}…π_{v-1}π_vπ_{v+1}…π_{102}， 2 ≤ u < v ≤ 101 ，2 ≤\pi_u < \pi_v≤ 101$，交换u与v之间的顺序，此时的新路径为：

$$π_1…π_{u?1}π_vπ_{v+1}…π_{u+1}π_uπ_{v+1}…π_{102}$$

记$Δf=(d_{π_{u?1}π_v}+d_{π_uπ_{v+1}})?(d_{π_{u?1}π_u}+d_{π_vπ_{v+1}})$，若$\Delta f<0$，则以新的路经修改旧的路
经，直到不能修改为止。

（3） 目标函数
目标函数为侦察所有目标的路径长度，适应度函数就取为目标函数。我们要求

$$\min f(\pi_1,\pi_2,\dots,\pi_{102})=\sum_{i=1}^{101}d_{\pi_i\pi_{i+1}}$$

（4） 交叉操作
我 们 的 交 叉 操 作 采 用 单 点 交 叉 。 设 计 如 下 ， 对 于 选 定 的 两 个 父 代 个 体$f_1=ω_1ω_2\dots ω_{102}，f_2=ω_1ω_2\dots ω_{102}$，我们随机地选取第$t$个基因处为交叉点，则经过交叉运算后得到的子代编码为$s_1$ 和$s_1$， $s_1$ 的基因由$f_1$的前$t$个基因和$f_2$ 的后$102 ? t$个基因构成， $s_2$的基因由$f_2$ 的前$t$个基因和$f_1$的后$102 ? t$个基因构成，例如：

$$f_1=[0,0.14,0.25,0.27,\ \ \|\ \ 0.29,0.54,\dots,0.19,1]\\ f_2=[0,0.23,0.44,0.56,\ \ \|\ \ 0.74,0.21,\dots,0.24,1]$$

设交叉点为第四个基因处，则

$$s_1=[0,0.14,0.25,0.27,\ \ \|\ \ 0.74,0.21,\dots,0.24,1]\\ s_2=[0,0.23,0.44,0.56,\ \ \|\ \ 0.29,0.54,\dots,0.19,1]$$

交叉操作的方式有很多种选择，我们应该尽可能选取好的交叉方式，保证子代能继承父代的优良特性。同时这里的交叉操作也蕴含了变异操作。

（5） 变异操作
变异也是实现群体多样性的一种手段，同时也是全局寻优的保证。具体设计如下，按照给定的变异率，对选定变异的个体，随机地取三个整数，满足$1 < u < v < w < 102$，
把$u,v$之间（包括$u$和$v$）的基因段插到$w$后面。

（6） 选择
采用确定性的选择策略，也就是说选择目标函数值最小的$M$个个体进化到下一代，这样可以保证父代的优良特性被保存下来。

MATLAB 程序

clc,clear
load sj.txt %加载敌方100 个目标的数据
x=sj(:,1:2:8);x=x(:);
y=sj(:,2:2:8);y=y(:);
sj=[x y];
d1=[70,40];
sj0=[d1;sj;d1];
%距离矩阵d
sj=sj0*pi/180;
d=zeros(102);
for i=1:101
for j=i+1:102
temp=cos(sj(i,1)-sj(j,1))*cos(sj(i,2))*cos(sj(j,2))+sin(sj(i,2))*sin(sj(j,2));
d(i,j)=6370*acos(temp);
end
end
d=d+d‘;L=102;w=50;dai=100;
%通过改良圈算法选取优良父代A
for k=1:w
c=randperm(100);
c1=[1,c+1,102];
flag=1;
while flag>0
flag=0;
for m=1:L-3
for n=m+2:L-1
if d(c1(m),c1(n))+d(c1(m+1),c1(n+1))<d(c1(m),c1(m+1))+d(c1(n),c1(n+1))
flag=1;
c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1);
end
end
end
end
J(k,c1)=1:102;
end
J=J/102;
J(:,1)=0;J(:,102)=1;
rand(‘state‘,sum(clock));
%遗传算法实现过程
A=J;
for k=1:dai %产生0～1 间随机数列进行编码
B=A;
c=randperm(w);
%交配产生子代B
for i=1:2:w
F=2+floor(100*rand(1));
temp=B(c(i),F:102);
B(c(i),F:102)=B(c(i+1),F:102);
B(c(i+1),F:102)=temp;
end
-280-
%变异产生子代C
by=find(rand(1,w)<0.1);
if length(by)==0
by=floor(w*rand(1))+1;
end
C=A(by,:);
L3=length(by);
for j=1:L3
bw=2+floor(100*rand(1,3));
bw=sort(bw);
C(j,:)=C(j,[1:bw(1)-1,bw(2)+1:bw(3),bw(1):bw(2),bw(3)+1:102]);
end
G=[A;B;C];
TL=size(G,1);
%在父代和子代中选择优良品种作为新的父代
[dd,IX]=sort(G,2);temp(1:TL)=0;
for j=1:TL
for i=1:101
temp(j)=temp(j)+d(IX(j,i),IX(j,i+1));
end
end
[DZ,IZ]=sort(temp);
A=G(IZ(1:w),:);
end
path=IX(IZ(1),:)
long=DZ(1)
toc
xx=sj0(path,1);yy=sj0(path,2);
plot(xx,yy,‘-o‘)

计算结果为 40 小时左右。其中的一个巡航路径如图2 所示。