【每日算法】计数&基数&桶&位图排序-简介

在前面的文章中，我们介绍的都是基于比较的排序。

对于比较排序，对含n个元素的序列进行排序，在最坏情况下都要用O(n logn)次比较（归并排序和堆排序是渐近最优的）。

本文将继续介绍以线性时间运行的排序算法，他们使用的是非比较排序，因此下界O(n logn)对它们不适用。

计数排序

想象下面这种情况：

一个班有k个人，需要排成一条纵队，地面上已经用粉笔按从小到大的顺序标明了1到k个号码，要求按身高从低到高排列，也就是说，最高的站在标号为k的位置，最矮的站在标号为1的位置。

那么对于每个人，如何知道自己的位置呢？

假如每个人都知道所有人的身高，那么他只需要数一数比自己矮的有多少个，比如10个，那么他就可以很自觉地站到标号为11的位置了。

注意：如果有身高相等的情况，我们需要改变下策略：每个人数一数比自己矮的以及和自己身高一样的人数（包括自己），假如有2个人身高相等，一开始他们得到的计数为8，于是一个人开始站到标号为8的位置，那么另一个人应该站到标号为7的位置（也就是说他的计数值应该减1）。

当每个人都站好之后，整个队就按身高从低到高排好序了。

计数排序假设n个输入元素都是0到k之间的整数，基本思想是对每个元素x，确定出小于x的元素个数，之后便可以将x直接放到合适的位置。（需注意元素相等的情况）

为完成计数排序，我们需要三个数组：输入数组a[0…n-1]，排序结果数组b[0…n-1]，计数数组c[0…k]。

算法步骤如下：

1. 初始化c[0…k]为0；
2. 对于每个元素a[i]， c[ a[i] ]++，此时c记录a中各个元素出现的次数，比如{1, 1, 3}中，c[1] = 2, c[2] = 0, c[3] = 1；
3. 对于i=1 to k， c[i] = c[i] + c[i-1]，此时c记录小于等于i的元素的个数，c[1] = 2, c[2] = 2, c[3] = 3；
4. 按照计数结果存放元素到b中：对i = n-1 to 0，b[ c[ a[i] ] ] = a[i], c[ a[i] ]–；

第四步有点绕，我们一步步看： a[i]表示第i个待排元素， c[ a[i] ]表示小于等于第i个待排元素的元素个数，也就是说，第i个待排元素应该放置的位置。之后c[ a[i] ]–，因为a[i]已经放到正确的位置上了，这一个语句使得下一个值等于a[i]的待排元素放置到a[i]的前一个位置，这就解决了相等元素的问题。（同时注意到i是逆序的，它保证了计数排序的稳定性，假如是正序的，以{1，1，3}为例，那么第一个1将放置到第二个1后面，不稳定）

代码实现：

void countingSort(int a[], int b[], int size, int k)
{
    if (NULL == a || size <= 0)
        return ;
    int *c = new int[k+1];
    if (NULL == c)
    {
        cerr << "new error" << endl;
        return ;
    }
    memset(c, sizeof(c), 0);
    for (int i = 0; i < size; ++i)
        ++c[ a[i] ];
    for (int i = 1; i <= k; ++i)
        c[i] += c[i-1];
    for (int i = size-1; i >=0; --i)
        b[ c[ a[i] ]-- ] = a[i];
}

计数排序花费的总的时间为O(k+n)，当k = O(n)时，运行时间为O(n)。

可以看到，计数排序的效率是很高的，但是其局限性也高：排序的元素必须是【正整数】，且由于需要辅助数组c[0…k]，所以元素的范围不能太大。

基数排序

基数排序就很有意思了，它最初是用在老式穿卡机上的算法。

先举个扑克牌的例子……

我们要对一副扑克牌排序，可以这样做：先不管牌的大小，先对花色（比如红桃、黑桃、方块、梅花）排序，之后再根据牌的大小排序，于是一副牌就按花色、大小排好了。

对于序列：{329，457，657，839，436，720，355}，基数排序的工作原理如下：

先按最低位排序：

720
355
436
457
657
329
839

再按次低位排序：

720
329
436
839
355
457
657

最后按最高位排序：

329
355
436
457
657
720
839

需要强调的一点：每一次按位排序都要是稳定的。

伪代码：

void radixSort(int arr[], int d) //d为最高位，1为最低位
{
    for (int i = 1; i <= d; ++i)
        use a stable sort to sort array on digit i;
}

以上的基数排序是最低位优先(Least Significant Digit first)的，简称LSD法，同样还有最高位优先(Most Significant Digit first)法，简称MSD法，它从最高位开始排序。

**以上代码考虑的是正整数，在实际应用中，可能需要处理负数的情况。

基数排序的时间复杂度取决于选择哪种稳定的中间排序算法。

桶排序

桶排序就很好理解了，其思想是：假设所有元素均匀分布在区间[0,1)上，将该区间划分成n个相同大小的子区间（称为桶），之后，将相应的元素放到对应范围的桶里面，对各个桶里的元素进行排序，最后按次序把各个桶里的元素列出来即可。

桶排序的期望运行时间为O(n)。

以上只是最基本的桶排序思想，在实际应用中，考虑到实际数据的情况，需要做相应的调整。（比如桶的个数、桶之间是否平均分配等等），有兴趣的读者可以自行深入学习一下（对于并行算法感兴趣的朋友，可以看一看基于桶排序的并行化算法Sample Sort）。

位图排序

位图排序通常并不作为一种排序算法列出来，因为它的局限性很强。不过在这里我仍然想提一下这个优秀的想法，因为没有哪一个算法是全能的，更多的时候我们应该根据具体的问题来选择最适合的算法，而不是一味地追求所谓的最快or最通用的算法。

关于位图排序，我之前写过一遍博文介绍过，这里不赘述，请有兴趣的读者移步：

【编程珠玑-读书笔记】用位图解决排序问题–仔细分析问题的重要性

到此为止，我们的排序算法将告一段落了，后面我将就排序算法写一篇文总结一下，除了目前为止我提到的算法，其实还有一些其他的排序算法，特别是一些并行化的排序算法，下篇文我会顺带介绍一下~

参考文献：《算法导论》 第八章 线性时间排序

每天进步一点点，Come on！

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本人水平有限，如文章内容有错漏之处，敬请各位读者指出，谢谢！