图的搜索算法之广度优先搜索

               图的邻接表表示

对图（有向或无向）$G=<V, E>（为方便记，假定V={1, 2, …, n}）$，其邻接表表示是一个由|V|个链表组成数组。对每一个$u ∈ V$，链表Adj[u]称为相应顶点u的邻接表。它包括G中全部与u相邻的顶点。每一个邻接表中顶点一般是按随意顺序存放的。

无向图的邻接表表示

有向图的邻接表表示

广度优先搜索（Broad First Search)

1．问题的理解与描写叙述
给定一个图（有向或无向）$G = <V, E>$和当中的一个源顶点s。广度优先搜索系统地探索G的边以“发现”从s出发每一个可达的顶点：发现从s出发距离为k+1的顶点之前先发现距离为k的顶点。搜索所经路径中的顶点。按先后顺序构成“父子关系”：先发现的顶点u，并由u出发发现与其相邻的顶点v，则称u为v的父亲。因为每一个顶点仅仅有最多一个顶点作为它的父亲，所以搜索路径必构成一棵根树（树根为起始顶点s）$G_π$。我们把这棵树称为G的广度优先树。与此同一时候，我们还计算出了从s到这些可达顶点的距离（最少的边数即“最短路径”）。这样，图的广度搜索问题形式化表述例如以下。
输入：图$G=<V, E>$，源顶点s∈V。
输出：G的广度优先树$G_π$以及树中从树根s（源顶点）到各节点的距离。
2 算法的伪代码描写叙述
为了跟踪整个过程，广度优先搜索为每一个顶点着白色。灰色或黑色。開始时，全部的顶点都着白色，然后可能白城灰色后再为黑色。一个顶点在探索过程中首次被遇到称为发现，此后他就不再是白色了。所以灰色的或黑色的是已 发现的。广度优先搜索用两者的差别来保证搜索进程以广度优先的方式进行，若（u，v)∈E且顶点u是黑色的，则顶点v非灰即黑，即与黑色顶点相邻的顶点必是已訪问过的。

灰色顶点可能有白色相邻顶点，他们表示已訪问过或未訪问过的界限。

过程BFS假定输入的图G是用邻接表表示的。每一个顶点u∈V的颜色存储在color[u]中，为计算图G的广度优先树$G_π$ 和从s到各可达顶点的距离。用π[u]表示顶点u在$G_π$ 中的父节点，用d[u]表示从s到u的距离。算法使用一个先进先出的队列Q来管理灰色顶点集合。
伪代码例如以下：

BFS(G,s)
1  for 每一个顶点 u?V[G] - {s}
2       do color[u]←WHITE
3          d[u]←?
4       ?[u] ←NIL
5  color[s] ←GRAY
6  d[s]←0
7  Q←?
8  ENQUEUE(Q,s)
9  while Q≠?
10     do u←DEQUEUE(Q)
11         for each v ?Adj[u]
12             do if color[v] = WHITE
13                   then color[v]←GRAY
14                     ?[v] ←u
15                            d[v]←d[u] + 1
16                            ENQUEUE(Q,v)
17          color[u]←BLACK
18 return ? and d

例如以下图是BFS对一个无向图的操作过程：

算法的执行时间：Θ(V + E)

3 算法的c++实现

/***********************************
*@file:graph.h
*@ brif:图的邻接表的算法实现类
*@ author:sf
*@data：20150704
*@version 1.0
*
************************************/
#ifndef _GRAPH_H
#define _GRAPH_H


#include <list>
using namespace std;
struct vertex//邻接表节点结构
{
    double weight;//边的权值
    int index;//邻接顶点
};
class Graph
{
public:
    list<vertex> *adj;//邻接表数组
    int n;//顶点个数
    Graph(float *a,int n);
    ~Graph();

};

#endif // _GRAPH_H

#include "stdafx.h"
#include "Graph.h"

Graph::Graph(float *a,int n):n(n)//a是图的邻接矩阵
{
    adj = new list<vertex>[n];
    for (int i = 0; i < n;i++)//对每一个顶点i
        for (int j = 0; j < n;j++)
            if (a[i*n+j]!=0.0)
            {
                vertex node = { a[i*n + j], j };//a[i,j]=weight 边的权重 j,邻接节点号
                adj[i].push_back(node);
            }
}
Graph::~Graph()
{
    delete[] adj;
    adj = NULL;
}

#ifndef _BFS_H
#define _BFS_H
/***********************************
*@file:BFS.h
*@ brif:图的邻接表的图的广度优先搜索(Broad First Search, BFS)算法实现
*@ author:sf
*@data：20150704
*@version 1.0
*
************************************/
#include "Graph.h"
#include "vector"
#include <utility>
using namespace std;
/***********************************
*@function:bfs
*@ brif:图的邻接表的图的广度优先搜索(Broad First Search, BFS)算法实现
*@ input param: g 图的邻接表 s 源顶点
*@ output param: pi g的广度优先树 d 从根节点到各顶点的距离
*@ author:sf
*@data：20150707
*@version 1.0
*
************************************/
pair<vector<int>, vector<int>> bfs(const Graph &g, int s);
/***********************************
*@function: printPath
*@ brif:打印广度优先树
*@ input param: pi 图的广度优先树 s 源顶点 v 叶子v
*@ author:sf
*@data：20150707
*@version 1.0
*
************************************/
void printPath(const vector<int> &pi, int s, int v);
#endif

/***********************************
*@file:BFS.cpp
*@ brif:图的邻接表的图的广度优先搜索(Broad First Search, BFS)算法实现
*@ author:sf
*@data：20150704
*@version 1.0
*
************************************/
#include "stdafx.h"
#include "BFS.h"
#include <queue>
#include <iostream>
using namespace std;
enum vertex_color{WHITE,GRAY,BLACK};
typedef enum vertex_color Color;
pair<vector<int>, vector<int>> bfs(const Graph &g, int s)
{
    queue<int> Q;//优先队列管理灰色顶点集合
    vector<int> pi(g.n, -1);//顶点u在g中的父节点
    vector<int> d(g.n, INT_MAX);//s到u的距离
    vector<Color> color(g.n, WHITE);//每一个顶点的颜色存储在color中
    int u, v;//父节点，子节点
    d[s] = 0;
    color[s] = GRAY;
    Q.push(s);
    while (!Q.empty())
    {
        u = Q.front();
        Q.pop();
        list<vertex> q = g.adj[u];
        auto pq = q.begin();
        while (pq!=q.end())
        {
            v = pq->index;
            if (color[v] == WHITE)
            {
                color[v] = GRAY;
                d[v] = d[u] + 1;
                pi[v] = u;
                Q.push(v);
            }
            pq++;
        }
        color[u] = BLACK;
    }
    return make_pair(pi, d);
}
void printPath(const vector<int> &pi, int s, int v)
{
    if (v == s)
    {
        cout << s;
        return;
    }
    if (pi[v] == -1)
        cout << "no path from" << s << "to" << v << endl;
    else
    {
        printPath(pi, s, pi[v]);
        cout << v;
    }
}

// bfs_test.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。

//

#include "stdafx.h"
#include "BFS.h"
#include <iostream>
using namespace std;
int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{

    int s = 1, n = 8;
    pair<vector<int>, vector<int>> r;
    float a[] =
    {
        0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0,
        1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0,
        0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0,
        0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
        1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
        0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0,
        0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1,
        0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0
    };
    Graph g(a, 8);
    r = bfs(g, 1);
    vector<int> pi = r.first;
    vector<int> d = r.second;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        if (i != s)
        {
            printPath(pi, s, i);
            cout << "length=" << d[i] << endl;
        }
    }
    system("pause");
    return (EXIT_SUCCESS);
}

执行结果：