[算法] 数据结构之AVL树

AVL树的复杂程度真是比二叉搜索树高了整整一个数量级——它的原理并不难弄懂，但要把它用代码实现出来还真的有点费脑筋。下面我们来看看：

AVL树本质上还是一棵二叉搜索树（因此读者可以看到我后面的代码是继承自二叉搜索树的），它的特点是：

1. 本身首先是一棵二叉搜索树。 

2. 带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。 

例如：

     5              5

    / \            / \

   2   6          2   6

  / \   \        / \

 1   4   7      1   4

    /              /

   3              3

上图中，左边的是AVL树，而右边的不是。因为左边的树的每个结点的左右子树的高度之差的绝对值都最多为1，而右边的树由于结点6没有子树，导致根结点5的平衡因子为2。

有人也许要问：为什么要有AVL树呢？它有什么作用呢？

我们先来看看二叉搜索树吧（因为AVL树本质上是一棵二叉搜索树），假设有这么一种极端的情况：二叉搜索树的结点为1、2、3、4、5，也就是：

 1

  \

   2

    \

     3

      \

       4

        \

         5

聪明的你是不是发现什么了呢？呵呵，显而易见——这棵二叉搜索树其实等同于一个链表了，也就是说，它在查找上的优势已经全无了——在这种情况下，查找一个结点的时间复杂度是O(N)！

好，那么假如是AVL树（别忘了AVL树还是二叉搜索树），则会是：

   2

  / \

 1   4

    / \

   3   5

可以看出，AVL树的查找平均时间复杂度要比二叉搜索树低——它是O(logN)。也就是说，在大量的随机数据中AVL树的表现要好得多。

假设有一个结点的平衡因子为2（在AVL树中，最大就是2，因为结点是一个一个地插入到树中的，一旦出现不平衡的状态就会立即进行调整，因此平衡因子最大不可能超过2），那么就需要进行调整。由于任意一个结点最多只有两个儿子，所以当高度不平衡时，只可能是以下四种情况造成的：

1. 对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入。 

2. 对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。 

3. 对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。 

4. 对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入。 

情况1和4是关于该点的镜像对称，同样，情况2和3也是一对镜像对称。因此，理论上只有两种情况，当然了，从编程的角度来看还是四种情况。

第一种情况是插入发生在“外边”的情况（即左-左的情况或右-右的情况），该情况可以通过对树的一次单旋转来完成调整。第二种情况是插入发生在“内部”的情况（即左-右的情况或右-左的情况），该情况要通过稍微复杂些的双旋转来处理。

情况1：对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入。

左边为调整前得节点，我们可以看出k2的左右子树已不再满足AVL平衡条件，调整后的为右图。

我们可以看出，解决办法是将x上移一层，并将z下移一层，由于在原树中k2 > k1，所以k2成为k1的右子树，而y是小于k2的，所以成为k2的左子树。

为了设计算法，我们这里来看一个更易理解的：插入的是节点“6”

算法设计：由于是情形1对该结点的左儿子的左子树进行了一次插入，该节点是“8”，首先我们不考虑其父节点的情况，因为我们创建节点是递归创建的，可以不用考虑其父节点与其的连接，这在后面递归创建的时候会说到，由于“8”的右孩子将不会发生变化，但是其左孩子设为“7”的右孩子，将7的右孩子设为“8”及其子树，然后返回“7”节点的指针。

实现代码：

//情形1 

AVLTree SingleRotateWithLeft(PAVLNode k2)

{

 PAVLNode k1;

   k1 = k2->l;

     k2->l = k1->r;

     k1->r = k2;

     k2->h = MAX( Height( k2->l ), Height( k2->r ) ) + 1;

     k1->h = MAX( Height( k1->l ), k2->h ) + 1;

     return k1;  /* New root */

}

情况4：对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入。 

左边为调整前得节点，我们可以看出k1的左右子树已不再满足AVL平衡条件，调整后的为右图。

我们可以看出，解决办法是将z上移一层，并将x下移一层，由于在原树中k2 > k1，所以k1成为k2的左子树，而y是大于k1的，所以成为k1的右子树。

为了设计算法，我们这里来看一个更易理解的：插入的是节点“6”

算法设计：由于是情形1对该结点的右儿子的右子树进行了一次插入，该节点为“4”，我们同第一种情形类似。

实现代码：

//情形4

AVLTree SingleRotateWithRight(PAVLNode k1)

{

PAVLNode k2;

  k2 = k1->r;

    k1->r = k2->l;

    k2->l = k1;

    k1->h = MAX( Height( k1->l ), Height( k1->r ) ) + 1;

    k2->h = MAX( Height( k2->r ), k1->h ) + 1;

    return k2;  /* New root */

}

情况2：对该结点的左儿子的右子树进行了一次插入。 

这种情况是单旋转调整不回来的，如下图：

图（1）

左--右双旋转如下：

图（2）

这里我们将图（1）的Y子树看成如图（2），以k2为子树根节点的树，我们将其子树分成比D低，这里我我先对k3的左子树进行一次情形四的右旋转，然后在进行一次情形1的左旋转，详细步骤如下：(红色框里面的即是要进行单旋转的)

实现代码：

//情形2

AVLTree DoubleRotateWithLeft( PAVLNode k3 )

{

            /* Rotate between K1 and K2 */

            k3->l = SingleRotateWithRight( k3->l );

            /* Rotate between K3 and K2 */

            return SingleRotateWithLeft(k3);

}

情况3：对该结点的右儿子的左子树进行了一次插入。

右—左双旋转如下：

我们先对k1的右子树进行一次左旋转（情形1，然后再对k1进行一次右旋转（情形4）。

实现代码：

//情形3

AVLTree DoubleRotateWithRight( PAVLNode k1 )

{

            /* Rotate between K3 and K2 */

            k1->r = SingleRotateWithLeft( k1->r );

            /* Rotate between K1 and K2 */

            return SingleRotateWithRight( k1 );

}

插入的核心思路是通过递归找到合适的位置，插入新结点，然后看新结点是否平衡（平衡因子是否为2），如果不平衡的话，就分成三种大情况以及两种小情况：

1. 在结点的左儿子(X < T->item) 

o 在左儿子的左子树 (X < T->l-> item)，“外边”，要做单旋转。 

o 在左儿子的右子树 (X > T->l-> item)，“内部”，要做双旋转。 

2. 在结点的右儿子(X > T->item) 

o 在右儿子的左子树(X < T->r-> item)，“内部”，要做双旋转。 

o 在右儿子的右子树(X > T->r-> item)，“外边”，要做单旋转。 

3. (X == T->item) ，对该节点的计数进行更新。

当进行了旋转之后，必定会有结点的“父结点”是需要更新的，例如：

   2

  / \

 1   4

    / \

   3   5

        \

         6

上图是调整前的，下图是调整后的：

     4

    / \

   2   5

  / \   \

 1   3   6

可以看出，根结点2不平衡，是由于它的右儿子的右子树插入了新的结点6造成的。因此，这属于“外边”的情况，要进行一次单旋转。于是我们就把结点4调整上来作为根结点，再把结点2作为4的左儿子，最后把结点2的右儿子修改为原来的结点4的左儿子。

实现代码：

AVLTree Insert(Item X, AVLTree T )

 {

            if( T == NULL )

            {

                /* Create and return a one-node tree */

                T = (PAVLNode)malloc( sizeof(AVLNode ) );

                if( T == NULL )

                    perror("malloc failed");

                else

                {

                    T->item = X; 

T->h = 0;

                    T->l = T->r = NULL;

                    T->count = 1;

                }

            }

            else if(compare(&X,&T->item) == -1)//插入情况1

            {

                T->l = Insert( X, T->l );

                if( Height( T->l ) - Height( T->r ) == 2 )

                    if(compare(&X, &T->l->item ) == -1)//左边左子树 单旋转 

                        T = SingleRotateWithLeft( T );

                    else

                        T = DoubleRotateWithLeft( T );//左边右子树 

            }

            else if( compare(&X,&T->item) == 1 ) //插入情况2

            {

                T->r = Insert( X, T->r );

                if( Height( T->r ) - Height( T->l ) == 2 )

                    if(compare(&X , &T->r->item) == 1)//右边右子树 单旋转

                        T = SingleRotateWithRight( T );

                    else

                        T = DoubleRotateWithRight( T );//右边左子树 

            }

            else//插入情况3

             T->count++;

            /* Else X is in the tree already; we‘ll do nothing */

            T->h = MAX( Height( T->l ), Height( T->r ) ) + 1;

            return T;

}