算法分析之——heap-sort堆排序

堆排序是一种原地排序排序算法，不使用额外的数组空间，运行时间为O(nlgn)。本篇文章我们来介绍一下堆排序的实现过程。
要了解堆排序，我们首先来了解一个概念，完全二叉树。堆是一种完全二叉树或者近似完全二叉树。什么是完全二叉树呢？百度百科上给出定义：完全二叉树：除最后一层外，每一层上的节点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。下面用两个小图来说明完全二叉树与非完全二叉树。（图片来自百度，大家可以忽略水印…..）

二叉堆满足二个特性：

1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。

2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。

堆排序也是基于分治思想的，主要有以下三步：

1. 初始化，从第一个非叶结点开始遍历，使以其为根的树为大根堆；
2. 交换堆顶元素与堆尾元素，筛选出最大的值。调整新的堆为大根堆。
3. 重复2，每次筛选出堆中的最大元素，堆排序完成。
   本次，我们举例的数组如下：数组长度length=10；
   
   对应的堆结构：
   

从第一个非叶结点开始，建初堆

void BUILD_MAX_HEAP(int A[],int length)
{
    int i;
    for(i=((length/2)-1);i>=0;i--)//length/2-1,为第一个非叶结点
        MAX_HEAPIFY(A,i);

}

保持堆的性质

void MAX_HEAPIFY(int A[],int i)
{
    int l,r,largest,middle;
    l=LEFT(i);
    r=RIGHT(i);
    if(l<heap_size && A[l]>A[i])
        largest = l;
    else 
        largest= i;
    if(r<heap_size && A[r]>A[largest])
        largest = r;
    if(largest!=i)
    {
        middle=A[largest];
        A[largest]=A[i];
        A[i]=middle;
        MAX_HEAPIFY(A,largest);

    }
}

堆排序的具体实现

void heap_sort(int A[],int length)
{
    BUILD_MAX_HEAP(A,length);

    int i,middle;
    for(i=length-1;i>0;i--)
    {
        middle=A[0];
        A[0]=A[i];
        A[i]=middle;
        heap_size--;
        MAX_HEAPIFY(A,0);

    }   
}

下面为程序执行的简单的过程，分析不够全面，但是足以说明问题。

1.分析步骤4中的for循环，BUILD_MAX_HEAP(A,length);即建初堆的过程。i从length/2-1循环到0，即从4循环到0。（4为第一个非叶结点）
（1）i=4；MAX_HEAPIFY(A,i)；MAX_HEAPIFY(A,4);
<1>计算左叶子节点的编号l=LEFT(i)=(2*i+1)=9; 计算右叶子节点的编号r=RIGHT(i)=(2*i+2)=10;
注:此处计算左右叶子节点的编号时，要注意数组是从0还是从1开始的；若从0开始，左叶子节点为(2*i+1)，右叶子节点为(2*i+2)；若从1开始，左叶子为2*i;右叶子为2*i+1

<2>判断左右叶子节点与根节点的大小，将其中节点编号的较大值赋值给largest;
heap_size为堆的大小，开始heap_size=length=9

if(l<heap_size && A[l]>A[i])
        largest = l;
    else 
        largest= i;
    if(r<heap_size && A[r]>A[largest])
        largest = r;

当i=4时，largest=4

<3>判断largest是否等于根节点，若不为根节点，说明其中左叶节点或者右叶节点比根节点的值大，则此时交换根节点与largest节点的值。

if(largest!=i)
    {
        middle=A[largest];
        A[largest]=A[i];
        A[i]=middle;
        MAX_HEAPIFY(A,largest);

    }

因为此处largest=i,因此不执行这一步，执行下一次for循环

（2）i=3;MAX_HEAPIFY(A,i)；MAX_HEAPIFY(A,3);
<1>计算左叶子节点的编号l=LEFT(i)=(2*i+1)=7; 计算右叶子节点的编号r=RIGHT(i)=(2*i+2)=8;

<2>判断左右叶子节点与根节点的大小，将其中节点编号的较大值赋值给largest;
largest=7

<3>判断largest是否等于根节点，若不为根节点，说明其中左叶节点或者右叶节点比根节点的值大，则此时交换根节点与largest节点的值。

<4>执行MAX_HEAPIFY(A,largest);MAX_HEAPIFY(A,7);将以largest为根的树调整为大根堆

（3）i=2;步骤与2中的<1>~<4>相同。largest=6,发生交换。此处不再分析。

（4）i=1;时分析过程参考步骤与2中的<1>~<4>。执行后的结果

(5)i=0;

2.步骤6中的for循环分析，即筛选出最大的值，缩小堆的规模，保持堆的性质的过程。
length=10，i从length-1到1，即从9循环到1

for(i=length-1;i>0;i--)
    {
        middle=A[0];
        A[0]=A[i];
        A[i]=middle;
        heap_size--;
        MAX_HEAPIFY(A,0);

    }   

（1）i=9;交换A[i]与A[0]，此时i是堆的最末的那个元素，A[0]是堆顶元素，即最大的元素，将最大元素交换到堆尾。并且堆的规模缩小一个，即此时待重新排序的堆是红框框起来的部分,此时执行MAX_HEAPIFY(A,0);上面已经分析，此处不再赘述。

（2）i=8;交换A[i]与A[0];heap_size–;MAX_HEAPIFY(A,0);

(3)下面的循环不再举例，我们可以看出，每次都筛选出当前堆中最大的元素。

3.最后给出程序运行的截图：

程序源代码下载地址：堆排序实现代码