算法学习#02--斐波那契Fibonacci数列算法优化

时间：2016-04-14 14:24:44 阅读：263 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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算法列表

本文从时间效率和占用空间内存角度评估，找出最优算法。

经典递归算法Recursive algorithm（很慢）
动态存储算法Dynamic programming（慢）
矩阵幂算法Matrix exponentiation（快）
倍数公式算法Fast doubling（很快）
倍数公式算法+快速乘法Fast doubling with Karatsuba(最快)

Fibonacci数列

1.数列介绍

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

2.数列规律

当我们将这些数字画成正方形时，会得到一个螺旋扩大的图形，如下。
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数列的规律是：F（n）= F(n-1) + F(n-2)

而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618）。

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666…，3÷5=0.6，5÷8=0.625…，
55÷89=0.617977…144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886……

越到后面，这些比值越接近黄金比。

3.通用公式：

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或者（φ为 1.618034…）
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经典递归算法

1.递归公式

F（n）= F(n-1) + F(n-2)

2.代码

private static long i = 0;

public static long F(int n)  {      
    if (n == 0)
        return 0;
    if (n == 1) 
        return 1;

    i++;//记录计算次数
    return F(n-1) + F(n-2);
}
public static void main(String[] args)  {
    for (int n = 0; n < 40; n++)
        System.out.println(n + " " + F(n)+ " " + i + " "+ (long)Math.pow(1.618, n+1));
}

输出：
0 0 0 1
1 1 0 2
2 1 1 4
3 2 3 6
4 3 7 11
5 5 14 17
…….
35 9227465 39088132 33360044
36 14930352 63245948 53976552
37 24157817 102334116 87334061
38 39088169 165580101 141306511
39 63245986 267914255 228633935

3.评估

时间效率–>运算次数O(φ^n) 。n越大，越接近此值，见上最后两列。
空间内存–>占用内存O(n)。

动态存储算法

将计算过的F(n-1)和F(n-2)储存起来，不用再次计算。

1.代码

public static long F(int n)
{
    long a = 0, b = 1, c, i;

    if( n == 0)
        return a;

    for (i = 2; i <= n; i++){
        c = a + b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return b;
}

public static void main(String[] args)
{
    for (int n = 0; n < 100; n++)
        System.out.println(n + " " + F(n));
}

2.评估
时间效率–>运算次数O(n) 。
空间内存–>占用内存O(1)。

矩阵幂算法

1.公式

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2.证明

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3.代码

public static long fib(int n)
{
    long[][] f = {{1,1},{1,0}};
    if (n == 0)
        return 0;
    if( n == 1)
        return 1;

    return power(f, n-1);
}

public static long power(long[][] f, int n)
{
    if( n == 0)
        return 0;
    if( n == 1)
        return 1;

    long[][] m = {{1,1},{1,0}};

    power(f, n/2);
    long x = multiply(f, f); 

    if (n % 2 != 0)
        x = multiply(f, m);

  return x;
}

public static long multiply(long[][] f, long[][] m)
{
  long x =  f[0][0]*m[0][0] + f[0][1]*m[1][0];
  long y =  f[0][0]*m[0][1] + f[0][1]*m[1][1];
  long z =  f[1][0]*m[0][0] + f[1][1]*m[1][0];
  long w =  f[1][0]*m[0][1] + f[1][1]*m[1][1];

  f[0][0] = x;
  f[0][1] = y;
  f[1][0] = z;
  f[1][1] = w;

  return x;
}

public static void main(String[] args)
{
    for (int n = 0; n < 100; n++)
        System.out.println(n + " " + fib(n));
}

4.评估
时间效率–>运算次数O(logn) 。
空间内存–>占用内存O(1)。

倍数公式算法

1.公式

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2.证明

在矩阵幂公式基础上。

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3.代码

放到下一个算法里。

倍数公式算法+快速乘法

1.公式

还是跟倍数公式算法一样，只是里面的乘法用快速乘法替代。

首先介绍快速乘法。

Karatsuba乘法是一种快速乘法算法。由Anatolii Alexeevitch Karatsuba于1960年提出，并于1962年发表。一般我们做高精度乘法，普通算法的复杂度为O(n^2)，而Karatsuba算法的复杂度为O(3n^log3) ≈ O(3n^1.585)。

2.证明

Karatsuba算法主要应用于两个大数的相乘，原理是将大数分成两段后变成较小的数位，然后做3次乘法。推导过程如下：

计算两个很大的数xy相乘，取一个正整数m。
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3.代码

//倍数公式算法
private static long Fibonacci(int n) {
    long a = 0;
    long b = 1;     

    for (int i = 31; i >= 0; i--) {//n最大为2^32-1，所以只需要移位32次
        long d = a * (b * 2 - a);
        long e = a * a + b * b;
        a = d;
        b = e;
        if (((n >> i) & 1) != 0) {
            long c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
    }
    return a;
}

//倍数公式算法+快速算法
private static long FibonacciWithKaratsuba(int n) {
    long a = 0;
    long b = 1;     

    for (int i = 31; i >= 0; i--) {
        long d = Karatsuba(a, b * 2 - a);
        long e = Karatsuba(a, a) + Karatsuba(b, b);
        a = d;
        b = e;
        if (((n >> i) & 1) != 0) {
            long c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
    }
    return a;
}

//快速算法
public static long Karatsuba(long x, long y){
    if((x < 10) || (y < 10)){
        return x * y;
    }

    String s1 = String.valueOf(x);
    String s2 = String.valueOf(y);      
    int maxLength = Math.max(s1.length(), s2.length());
    int m = (int)Math.pow(10, maxLength/2);//取10 的（maxLength长度一半）次幂为除数      

    long xHigh = x / m;
    long xLow = x % m;
    long yHigh = y / m;
    long yLow = y % m;

    long a = Karatsuba(xHigh, yHigh);       
    long b = Karatsuba((xLow + xHigh), (yLow + yHigh));
    long c = Karatsuba(xLow, yLow); 

    return a * m * m + (b - a - c) * m + c;
}   

public static void main(String[] args)  {
    for (int N = 0; N < 100; N++)
        System.out.println(N + " " + Fibonacci(N) + " "+ FibonacciWithKaratsuba(N));
}

输出结果一样。

0 0 0
1 1 1
2 1 1
3 2 2
4 3 3
5 5 5
….
45 1134903170 1134903170
46 1836311903 1836311903
47 2971215073 2971215073
48 4807526976 4807526976
49 7778742049 7778742049
50 12586269025 12586269025

4.评估
时间效率–>运算次数O(logn) 。
空间内存–>占用内存O(1)。