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Kruskal算法(贪心+并查集=最小生成树)

时间:2016-04-16 18:54:21      阅读:287      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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http://www.51nod.com/

Kruskal算法的高效实现需要一种称作并查集的结构。我们在这里不介绍并查集,只介绍Kruskal算法的基本思想和证明,实现留在以后讨论。


Kruskal算法的过程:

(1) 将全部边按照权值由小到大排序。
(2) 按顺序(边权由小到大的顺序)考虑每条边,只要这条边和我们已经选择的边不构成圈,就保留这条边,否则放弃这条边。


算法 成功选择(n-1)条边后,形成一个棵最小生成树,当然如果算法无法选择出(n-1)条边,则说明原图不连通。

以下图为例:
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边排序后为:

1 AF 1
2 DE 4
3 BD 5
4 BC 6
5 CD 10
6 BF 11
7 DF 14
8 AE 16
9 AB 17
10 EF 33

算法处理过程如下:
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处理边AF,点A与点F不在同一个集合里,选中AF。
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处理边DE,点D与点E不在同一个集合里,选中DE
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处理边BD,点B与点D不在同一个集合里,选中BD
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处理边BC,点B与点C不在同一个集合里,选中BC
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处理边CD,点C与点D在同一个集合里,放弃CD。
处理边BF,点B与点F不在同一个集合里,选中BF。

至此,所有的点都连在了一起,剩下的边DF,AE,AB,EF不用继续处理了,算法执行结束。

Kruskal算法的证明。假设图连通,我们证明Krusal算法得到一棵最小生成树。我们假设Kruskal算法得到的树是K (注意我们已经假设Kruskal算法一定可以得到生成树)。假设T是一棵最小生成树,并且K ≠T, K中显然至少有一条边。我们找到在K中,而不在T中最小权值的边e。

把e加入T中,则形成一个圈,删掉这个圈中不在K中的边f,得到新的生成树T’。
f的存在性,如果全里面所有的边都在K中,则K包含圈,矛盾。

考虑边权值关系:

(1) 若w(f) > w(e), 则T’的权值和小于T的权值和,与T是最小生成树矛盾。
(2) 若w(f) < w(e), 说明Kruskal算法在考虑加入e之前先考虑了边f,之所以没加入f是因为f和之前加入的边形成圈,之前加入的边权值显然不超过w(f) (因为加边是从小到大的顺序加入的),所以之前加入的边权值一定小于w(e)。而根据e的定义,K中权值小于w(e)的边都在T中,这说明T中的边会和f构成圈,矛盾。

所以只能w(f) = w(e)。T’仍然是最小生成树,而T’和K相同的边多了一条。
这样下去有限步之后,最终可以把T变为K,从而K也是最小生成树。

最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个算法,只有写出了正确的程序,才能继续后面的课程。

输入

第1行:2个数N,M中间用空格分隔,N为点的数量,M为边的数量。(2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000)
第2 - M + 1行:每行3个数S E W,分别表示M条边的2个顶点及权值。(1 <= S, E <= N,1 <= W <= 10000)

输出

输出最小生成树的所有边的权值之和。

输入示例

9 14
1 2 4
2 3 8
3 4 7
4 5 9
5 6 10
6 7 2
7 8 1
8 9 7
2 8 11
3 9 2
7 9 6
3 6 4
4 6 14
1 8 8

输出示例

37

请选取你熟悉的语言,并在下面的代码框中完成你的程序,注意数据范围,最终结果会造成Int32溢出,这样会输出错误的答案。
不同语言如何处理输入输出,请查看下面的语言说明。
使用并查集和贪心思想。适合稀疏图。
Kruskal算法实现:
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
int parent[10];
int n,m;
int i,j;

struct edge{
	int u,v,w; //边的顶点,权值
}edges[10];

//初始化并查集
void UFset(){
	for(i=1; i<=n; i++) parent[i] = -1;
}

//查找i的跟
int find(int i){
	int temp;
	//查找位置
	for(temp = i; parent[temp] >= 0; temp = parent[temp]);
	//压缩路径
	while(temp != i){
		int t = parent[i];
		parent[i] = temp;
		i = t;
	}
	return temp;
}
//合并两个元素a,b
void merge(int a,int b){
	int r1 = find(a);
	int r2 = find(b);
	int tmp = parent[r1] + parent[r2]; //两个集合节点数的和
	if(parent[r1] > parent[r2]){
		parent[r1] = r2;
		parent[r2] = tmp;
	}else{
		parent[r2] = r1;
		parent[r1] = tmp;
	}
}

void kruskal(){
	int sumWeight = 0;
	int num = 0;
	int u,v;
	UFset();
	for(int i=0; i<m; i++)
	{
		u = edges[i].u;
		v = edges[i].v;

		if(find(u) != find(v)){ //u和v不在一个集合
			printf("加入边:%d %d,权值: %d\n", u,v,edges[i].w);
			sumWeight += edges[i].w;
			num ++;
			merge(u, v); //把这两个边加入一个集合。
		}
	}
	printf("weight of MST is %d \n", sumWeight);
}

//比较函数,用户排序
int cmp(const void * a, const void * b){
	edge * e1 = (edge *)a;
	edge * e2 = (edge *)b;
	return e1->w - e2->w;
}

int main() {

	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(i=0; i<m; i++){
		scanf("%d %d %d", &edges[i].u,  &edges[i].v,  &edges[i].w);
	}
	qsort(edges, m, sizeof(edge), cmp);

	kruskal();


	return 0;
}
/*
测试数据:
7 9
1 2 28
1 6 10
2 3 16
2 7 14
3 4 12
4 5 22
4 7 18
5 6 25
5 7 24
输出:
加入边:1 6,权值: 10
加入边:3 4,权值: 12
加入边:2 7,权值: 14
加入边:2 3,权值: 16
加入边:4 5,权值: 22
加入边:5 6,权值: 25
weight of MST is 99   */



Kruskal算法(贪心+并查集=最小生成树)

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原文地址:http://blog.csdn.net/liangzhaoyang1/article/details/51169090

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