堆排序

1、堆的定义
堆实际上是一棵完全二叉树，其任何一非叶节点满足性质：
Key[i]<=key[2i+1]&&Key[i]<=key[2i+2]或者Key[i]>=Key[2i+1]&&key>=key[2i+2]。（初始i为0）在最大堆中，最大元素放在根节点中，且对任一非根节点，它的值小于或等于其双亲节点值。最小对则相反，根节点是最小元素。

2、堆排序的思想
利用最大堆(最小堆)堆顶记录的是最大关键字(最小关键字)这一特性，使得每次从无序中选择最大记录(最小记录)变得简单。
1）将初始待排序关键字序列(R1,R2….Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；
2）将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,……Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2…n-1]<=R[n];
3）由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,……Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2….Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

3、操作过程如下：
首先根据该数组元素构建一个完全二叉树，得到

然后需要构造初始堆，则从最后一个非叶节点开始调整，调整过程如下：

20和16交换后导致16不满足堆的性质，因此需重新调整

这样就得到了初始堆。即每次调整都是从父节点、左孩子节点、右孩子节点三者中选择最大者跟父节点进行交换(交换之后可能造成被交换的孩子节点不满足堆的性质，因此每次交换之后要重新对被交换的孩子节点进行调整)。有了初始堆之后就可以进行排序了。

此时3位于堆顶不满堆的性质，则需调整继续调整

从上述过程可知，堆排序其实也是一种选择排序，是一种树形选择排序。只不过直接选择排序中，为了从R[1…n]中选择最大记录，需比较n-1次，然后从R[1…n-2]中选择最大记录需比较n-2次。事实上这n-2次比较中有很多已经在前面的n-1次比较中已经做过，而树形选择排序恰好利用树形的特点保存了部分前面的比较结果，因此可以减少比较次数。

4、java代码

public class HeapSort {

    public static void main(String[] args) {
        HeapSort heapSort = new HeapSort();
        int[] a = { 17, 8, 45, 84, 2, 94 };
        heapSort.heapSort(a, a.length - 1);
    }

    public void heapSort(int[] arrays, int e) {
        if (e > 0) {
            initSort(arrays, e);// 初始化堆，找出最大的放在堆顶
            // snp(arrays);
            arrays[0] = arrays[e] + arrays[0];
            arrays[e] = arrays[0] - arrays[e];
            arrays[0] = arrays[0] - arrays[e];
            // snp(arrays);
            heapSort(arrays, e - 1);
        } else {
            snp(arrays);
        }
    }

    public void snp(int[] arrays) {
        for (int i = 0; i < arrays.length; i++) {
            System.out.print(arrays[i] + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    public void initSort(int[] arrays, int e) {
        int m = (e + 1) / 2;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            boolean flag = buildHeap(arrays, e, i);
            // 如果孩子之间有交换，就要重新开始
            if (flag) {
                i = -1;
            }
        }
    }

    // 返回一个标记，如果有根与孩子交换就要重新从顶根开始查找不满足最大堆树结构
    public boolean buildHeap(int arrays[], int e, int i) {
        int l_child = 2 * i + 1;// 左孩子
        int r_child = 2 * i + 2;// 右孩子
        if (r_child > e) { // 判断是否有右孩子，没有的话直接比较，小于交换
            if (arrays[i] < arrays[l_child]) {
                arrays[i] = arrays[i] + arrays[l_child];
                arrays[l_child] = arrays[i] - arrays[l_child];
                arrays[i] = arrays[i] - arrays[l_child];
                return true;
            } else {
                return false;
            }
        }
        // 在根与两个孩子之间找出最大的那个值进行交换
        if (arrays[i] < arrays[l_child]) {
            if (arrays[l_child] > arrays[r_child]) {
                // 交换根与左孩子的值
                arrays[i] = arrays[i] + arrays[l_child];
                arrays[l_child] = arrays[i] - arrays[l_child];
                arrays[i] = arrays[i] - arrays[l_child];
                return true;
            } else {
                // 交换根与右孩子的值
                arrays[i] = arrays[i] + arrays[r_child];
                arrays[r_child] = arrays[i] - arrays[r_child];
                arrays[i] = arrays[i] - arrays[r_child];
                return true;
            }
        } else if (arrays[i] < arrays[r_child]) {
            // 交换根与右孩子的值
            arrays[i] = arrays[i] + arrays[r_child];
            arrays[r_child] = arrays[i] - arrays[r_child];
            arrays[i] = arrays[i] - arrays[r_child];
            return true;
        }
        return false;
    }// buildHeap

}

5、性能分析如下：
1）空间效率。仅使用了常数个辅助单元，所以空间复杂度为O(1)
2）时间复杂度。建堆时间为O(n)，之后有n-1次向下调整操作，每次调整的时间复杂度为O(h)，故在最好，最坏和平均的情况下，堆排序的复杂度为O(nlog2n)。
3）稳定性。在进行筛选时，有可能把后面相同关键字的元素调整到前面，所以堆排序算法是不稳定算法。例如，表L={1,2,2}，构建初始堆时，可能将2交换到堆顶，此时L={2,1,2}，最终排序序列为L={1,2,2}，显然，2与2的相对次序已经发生了变化。