【快速因数分解】Pollard's Rho 算法

算法目的

给一个数n，快速提取n的一个因数。

算法根据：生日悖论

讲生日悖论之前，先看一个东西。
给出[1..1000]的数，从中任意选出一个数为k的概率是$1\over 1000$。
但是假如选出两个数p,q要求他们的差值为k，就是|p-q|=k的概率大概是$1\over 500$,因为要去绝对值。
继续向下，选出l个数，使他们之间有两个数的差值为k，那么概率会随l的变大而变大，最终会趋近于1。
接下来是生日悖论：
我们随机选择一名学生，他的生日为 4 月 1 日的概率为 [1..365]
这相当于我们在[1..365]中随机选取一个数，该数为 90 的概率是多少？
那么我们又回到了上面那个问题。
我们随机选取 k(k≥ 2)个人 ，他们的生日相同的概率是多少（就是差值为0）？
我们可以看到，k = 10 的时候大概有 11%的可能性存在两个人生日相同的情况，
而 k = 23 时，可能性提高至50%，假如一个班级总共有57个人，而l=57时的可能性已达到99%，几乎可以肯定地说，一个班级里必定有两个同学的出生日期是相同的，而这么多年的求学生涯过来了，这个概率“似乎”是不正确的，这便是悖论了。

Pollard’s Rho 算法

那么竟然有了这个玄学的悖论，我们就可以随机的快速分解n了,2333。
有一个随机函数f(x)=(x*x+d)%n，d=rand()。然后每次随机出来的数和上一次随机出来的数的差值与n去一个最大公因数，然后判断一下就好了。
但是假如一直找不到符合的数然后死循环了怎么办。
我们可以用Floyd发明的机智判环算法，因为我每次a=f(a)，再找一个b=f(f(b))，如果有一个时刻a=b那么就退出循环，因为b是以两倍的速度走得，当b追上了a，那么b至少已经走完一圈了。
复杂度O($n^{1\over 4}$)，看上去O(玄学)。

Code

随机函数f

ll f(ll x){
    int u=rand();
    return (cheng(x,x,n)+po)%n;
}

Pollard’s Rho 算法

a=0;
    b=1;
    po=rand()%n+1;
    while(1){
        a=b=rand()%n+1;
        while(1){
            a=f(a);
            b=f(f(b));
            if(a==b)break;
            ll ui=abs(b-a);
            ll tt=gcd(ui,n);
            if(tt==1||tt==n)continue;
            if(tt>1){
                p=tt;
                break;
            }
        }  
        po--;
        if(p)break;
    }