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DFP算法是本科数学系中最优化方法的知识，也是无约束最优化方法中非常重要的两个拟Newton算法之一，上一周写了一周的数学软件课程论文，姑且将DFP算法的实现细节贴出来分享给学弟学妹参考吧，由于博客不支持数学公式，所以就不累述算法原理及推倒公式了。
DFP算法流程图
先给出DFP算法迭代流程图，总体上是拟Newton方法的通用迭代步骤，唯独在校正公式的地方有所区别。
MATLAB实现DFP
基于此图便可以设计DFP算法的MATLAB程序：
对分法及加步探索法的实现
首先由于DFP算法中需要利用一维搜索得到最优步长，因此需要先设计一个一维搜索函数，博主选用的是简单的对分法（二分法）：
%本函数利用二分法求解X = ls(Xk,Pk)问题
%目标函数：f
%符号参数：var
%终止限：eps
function x = dichotomy(f,var,eps)
g = diff(f,var);
[a, b] = search(f,var);
x = (a + b)/2; %防止eps过大导致x无值
while b - a > eps
x = (a+b)/2;
gx = subs(g, var, x);
if gx > 0
b = x;
elseif gx < 0
a = x;
else break;
end
end
%加步搜索法-确定搜索区间
function [a, b] = search(g,var)
gt = matlabFunction(g);
X = 0; tmp = X;
h = 1; k = 0;
while 1
Xk = X + h; k = k+1;
Y = subs(gt,var,X);
Yk = subs(gt,var,Xk);
if Y > Yk %加大步长搜索
h = 2 * h;
tmp = X;
X = Xk;
elseif Y == Yk %缩小步长搜索
h = h/2;
elseif k == 1
h = -h; %反向搜索
else break;
end
end
a = min(tmp, Xk);
b = max(tmp, Xk);
end
end
DFP算法的实现
有了一维搜索函数，那么实现DFP算法也就能依照算法流程图来设计了：
%DFP算法主程序
%目标函数：f
%初始点：X0
%参数：var
%终止限：eps
function DFP(f, X0, var, eps)
%初始化符号函数，梯度，维数等
syms var t;
g = jacobian(f)‘; %Jacobian转置->Grad
fx = matlabFunction(f); %符号函数->函数句柄(R2009以上支持)
gx = matlabFunction(g);
n = length(var); %维数
X = X0; Xk = X0;
while 1
fx0 = fx(X(1),X(2)); gx0 = gx(X(1),X(2));
Hk = eye(2); Pk = -gx0; %初始方向
k = 0; %迭代次数
while 1
Y = Xk + t*Pk;
y = fx(Y(1),Y(2));
tk = dichotomy(y, t, eps); %一维搜索
Xk = Xk + tk*Pk;
fx1 = fx(Xk(1),Xk(2));
gx1 = gx(Xk(1),Xk(2));
if norm(gx1) < eps || k == n
X = Xk; fx0 = fx1;
break;
end
Sk = Xk - X; Yk = gx1 - gx0;
Hk = Hk + Sk*Sk‘/(Sk‘*Yk) - Hk*(Yk)*Yk‘*Hk/(Yk‘*Hk*Yk);
Pk = -Hk*gx1; %校正方向
k = k+1;
end
if norm(gx1) < eps
disp(‘X(k+1) = ‘); disp(Xk);
disp(‘F(K+1) = ‘); disp(fx0);
break;
end
end
实例验证
有了DFP算法的实现函数，那么应用于实例也就不难了。
可以在命令文件下输入如下代码就能得到目标函数极值点及极值
clear; clc; format long; syms x1 x2; f = 4*(x1-5)^2 + (x2-6)^2; tic; %初始时间 DFP(f, [8;9], [x1, x2], 0.00000001); toc; %结束时间
输出结果如下：
X(k+1) =
4.999995811278565
5.999767686222325
F(K+1) =
5.403987284687523e-08
Elapsed time is 8.229108 seconds.
算法时间度分析：
由此可知，函数 在[8,9]附近的点[5.00,6.00]处取得局部最小值，其中局部极值点约为5.40e-8.
此算法运行时间约为8.23s，并且我们在降低终止限eps后，针对本题，算法运行时间增长较快，例如若eps = 1e-3，耗时11.6s，若eps = 1e-5，耗时22.94s，而eps = 1e-7，耗时甚至超过15分钟.这说明DFP算法在求解高精度运算时的运行效率表现得并不是那么好，甚至有可能无法得出最优解.
实例搜索图
基于该实例，对算法的迭代过程进行绘图，得到如下搜索图
可以由以上两个搜索图像得出一个结论：DFP算法的实质是在每一次迭代过程中调整自己的搜索方向，以使得该方向能够尽可能接近极值点，这也正是几乎所有拟Newton算法中校正矩阵的作用.
目 录
引言1
1 DFP算法原理1
1.1 DFP算法基本原理1
1.2 DFP算法迭代步骤2
1.3 DFP算法流程图4
2 DFP算法实现4
2.1 对分法及加步探索法的实现4
2.2 DFP算法的实现6
3 实例分析7
3.1 实例求解7
3.2 DFP的实例搜索过程图8
结论9
参考文献10
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Inkblots/p/5432731.html
