PageRank 算法

PageRank基本模型：

如果当前在A网页，上网者将会各以1/3的概率跳转到B、C、D，这里的3表示A有3条出链，如果一个网页有k条出链，那么跳转任意一个出链上的概率是1/k，同理D到B、C的概率各为1/2，而B到C的概率为0。一般用转移矩阵表示上网者的跳转概率，如果用n表示网页的数目，则转移矩阵M是一个n*n的方阵；如果网页j有k个出链，那么对每一个出链指向的网页i，有M[i][j]=1/k，而其他网页的M[i][j]=0

初始时，假设上网者在每一个网页的概率都是相等的，即1/n，于是初试的概率分布就是一个所有值都为1/n的n维列向量V0，用V0去右乘转移矩阵M，就得到了第一步之后上网者的概率分布向量MV0,（nXn）*(nX1)依然得到一个nX1的矩阵。下面是V1的计算过程：

矩阵M中M[i][j]不为0表示用一个链接从j指向i，M的第一行乘以V0，表示累加所有网页到网页A的概率即得到9/24。得到了V1后，再用V1去右乘M得到V2，一直下去，最终V会收敛，即Vn=MV(n-1)，上面的图示例，不断的迭代，最终V=[3/9,2/9,2/9,2/9]’：

终止点问题（所有连接最终到达终止点而无法再流动，全部网站概率趋向于0）

互联网上的网页不满足强连通的特性，因为有一些网页不指向任何网页，如果按照上面的计算，上网者到达这样的网页后便走投无路、四顾茫然，导致前面累计得到的转移概率被清零，这样下去，最终的得到的概率分布向量所有元素几乎都为0。假设我们把上面图中C到A的链接丢掉，C变成了一个终止点，得到下面这个图：

对应的转移矩阵为：

连续迭代下去，最终所有元素都为0：

陷阱问题（所有连接最终到达终止点而不断循环，其他网站概率趋向于0，本网站趋向于1）

即有些网页不存在指向其他网页的链接，但存在指向自己的链接。比如下面这个图：

上网者跑到C网页后，就像跳进了陷阱，陷入了漩涡，再也不能从C中出来，将最终导致概率分布值全部转移到C上来，这使得其他网页的概率分布值为0，从而整个网页排名就失去了意义。如果按照上面图对应的转移矩阵为：

不断的迭代下去，就变成了这样：

解决终止点问题和陷阱问题

上面过程，我们忽略了一个问题，那就是上网者是一个悠闲的上网者，而不是一个愚蠢的上网者，我们的上网者是聪明而悠闲，他悠闲，漫无目的，总是随机的选择网页，他聪明，在走到一个终结网页或者一个陷阱网页（比如两个示例中的C），不会傻傻的干着急，他会在浏览器的地址随机输入一个地址，当然这个地址可能又是原来的网页，但这里给了他一个逃离的机会，让他离开这万丈深渊。模拟聪明而又悠闲的上网者，对算法进行改进，每一步，上网者可能都不想看当前网页了，不看当前网页也就不会点击上面的连接，而上悄悄地在地址栏输入另外一个地址，而在地址栏输入而跳转到各个网页的概率是1/n。假设上网者每一步查看当前网页的概率为a，那么他从浏览器地址栏跳转的概率为(1-a)，于是原来的迭代公式转化为：

现在我们来计算带陷阱的网页图的概率分布：

重复迭代下去:

代码

import java.util.Arrays;

public class PageRank {

    private double m[][] = null;
    private double e[] = null;
    private double a = 0.0;
    private int iteration = 0;

    public PageRank(double[][] m, double a, int iteration) {
        super();
        this.m = m;
        this.a = a;
        this.iteration = iteration;
        for (int i = 0, len = m.length; i < len; i++) {
            e[i] = 1.0 / len;
        }
    }

    public PageRank(int[][] map, double a, int iteration) {
        super();
        this.a = a;
        this.iteration = iteration;
        this.m = new double[map.length][map.length];
        for (int i = 0, n = map.length; i < n; i++) {
            int sum = 0;
            for (int j = 0, len = map[i].length; j < len; j++) {
                sum += map[i][j];
            }
            for (int j = 0, len = map[i].length; j < len; j++) {
                if (map[i][j] == 1) {
                    m[j][i] = 1.0 / sum;
                }
            }
        }
        this.e = new double[map.length];
        for (int i = 0, len = m.length; i < len; i++) {
            e[i] = 1.0 / len;
        }
    }

    private double[] multiMatrix(double a[][], double b[]) {
        double c[] = new double[b.length];
        for (int i = 0, n = a.length; i < n; i++) {
            double sum = 0.0;
            for (int j = 0, m = b.length; j < m; j++) {
                sum += a[i][j] * b[j];
            }
            c[i] = sum;
        }
        return c;
    }

    private double[] multiMatrixNumber(double a[], double b) {
        double c[] = new double[a.length];
        for (int i = 0, n = a.length; i < n; i++) {
            c[i] = a[i] * b;
        }
        return c;
    }

    private double[] sumMatrix(double a[], double b[]) {
        double c[] = new double[a.length];
        for (int i = 0, len = a.length; i < len; i++) {
            c[i] = a[i] + b[i];
        }
        return c;
    }

    public double[] getRank() {
        double v[] = Arrays.copyOf(e, e.length);
        for (int i = 0; i < iteration; i++) {
            double x[] = multiMatrixNumber(multiMatrix(m, v), (this.a));
            double y[] = multiMatrixNumber(e, 1 - (this.a));
            v = sumMatrix(x, y);
        }
        return v;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int map[][] = new int[][] { { 0, 1, 1, 1 }, { 1, 0, 0, 1 },
                { 0, 0, 1, 0 }, { 0, 1, 1, 0 } };
        PageRank pageRank = new PageRank(map, 0.8, 5);
        pageRank.getRank();
    }
}