KMP算法

KMP算法，是由Knuth，Morris，Pratt共同提出的模式匹配算法，其对于任何模式和目标序列，都可以在线性时间内完成匹配查找，而不会发生退化，是一个非常优秀的模式匹配算法。但是相较于其他模式匹配算法，该算法晦涩难懂，第一次接触该算法的读者往往会看得一头雾水，主要原因是KMP算法在构造跳转表next过程中进行了多个层面的优化和抽象，使得KMP算法进行模式匹配的原理显得不那么直白。本文希望能够深入KMP算法，将该算法的各个细节彻底讲透，扫除读者对该算法的困扰。

KMP算法对于朴素匹配算法的改进是引入了一个跳转表next[]。以模式字符串abcabcacab为例，其跳转表为：

跳转表的用途是，当目标串target中的某个子部target[m...m+(i-1)]与pattern串的前i个字符pattern[1...i]相匹配时，如果target[m+i]与pattern[i+1]匹配失败，程序不会像朴素匹配算法那样，将pattern[1]与target[m+1]对其，然后由target[m+1]向后逐一进行匹配，而是会将模式串向后移动i+1 - next[i+1]个字符，使得pattern[next[i+1]]与target[m+i]对齐，然后再由target[m+i]向后与依次执行匹配。

举例说明，如下是使用上例的模式串对目标串执行匹配的步骤

通过模式串的5次移动，完成了对目标串的模式匹配。这里以匹配的第3步为例，此时pattern串的第1个字母与target[6]对齐，从6向后依次匹配目标串，到target[13]时发现target[13]=‘a‘，而pattern[8]=‘c‘，匹配失败，此时next[8]=5，所以将模式串向后移动8-next[8] = 3个字符，将pattern[5]与target[13]对齐，然后由target[13]依次向后执行匹配操作。在整个匹配过程中，无论模式串如何向后滑动，目标串的输入字符都在不会回溯，直到找到模式串，或者遍历整个目标串都没有发现匹配模式为止。

next跳转表，在进行模式匹配，实现模式串向后移动的过程中，发挥了重要作用。这个表看似神奇，实际从原理上讲并不复杂，对于模式串而言，其前缀字符串，有可能也是模式串中的非前缀子串，这个问题我称之为前缀包含问题。以模式串abcabcacab为例，其前缀4 abca，正好也是模式串的一个子串abc(abca)cab，所以当目标串与模式串执行匹配的过程中，如果直到第8个字符才匹配失败，同时也意味着目标串当前字符之前的4个字符，与模式串的前4个字符是相同的，所以当模式串向后移动的时候，可以直接将模式串的第5个字符与当前字符对齐，执行比较，这样就实现了模式串一次性向前跳跃多个字符。所以next表的关键就是解决模式串的前缀包含。当然为了保证程序的正确性，对于next表的值，还有一些限制条件，后面会逐一说明。

如何以较小的代价计算KMP算法中所用到的跳转表next，是算法的核心问题。这里我们引入一个概念f(j)，其含义是，对于模式串的第j个字符pattern[j]，f(j)是所有满足使pattern[1...k-1] = pattern[j-(k-1)...j  - 1](k < j)成立的k的最大值。还是以模式串abcabcacab为例，当处理到pattern[8] = ‘c‘时，我们想找到‘c‘前面的k-1个字符，使得pattern[1...k-1] = pattern[8-(k-1)...7]，这里我们可以使用一个笨法，让k-1从1到6递增，然后依次比较，直到找到最大值的k为止，比较过程如下

因为要取最大的k，所以k-1=1不是我们要找的结果，最后求出k的最大值为4+1=5。但是这样的方法比较低效，而且没有充分利用到之前的计算结果。在我们处理pattern[8] = ‘c‘之前，pattern[7] = ‘a‘的最大前缀包含问题已经解决，f(7) = 4，也就是说，pattern[4...6] = pattern[1...3]，此时我们可以比较pattern[7]与pattern[4]，如果pattern[4]=pattern[7]，对于pattern[8]而言，说明pattern[1...4]=pattern[4...7]，此时，f(8) = f(7) + 1 = 5。再以pattern[9]为例，f(8) = 5，pattern[1...4]=pattern[4...7]，但是pattern[8] != pattern[5]，所以pattern[1...5]!=pattern[4...8]，此时无法利用f(8)的值直接计算出f(9)。

我们可能考虑还是使用之前的笨方法来求出f(9)，但是且慢，利用之前的结果，我们还可以得到更多的信息。还是以pattern[8]为例。f(8) = 5，pattern[1...4]=pattern[4...7]，此时我们需要关注pattern[8]，如果pattern[8] != pattern[5]，那么在匹配算法如果匹配到pattern[8]才失败，此时就可以将输入字符target[n]与pattern[f(8)] = pattern[5]对齐，再向后依次执行匹配，所以此时的next[8] = f(8)（此平移的正确性，后面会作出说明）。而如果pattern[8] = pattern[5]，那么pattern[1...5]=pattern[4...8]，如果target[n]与pattern[8]匹配失败，那么同时也意味着target[n-5...n]!=pattern[4...8]，那么将target[n]与pattern[5]对齐，target[n-5...n]也必然不等于pattern[1...5]，此时我们需要关注f(5) = 2，这意味着pattern[1] = pattern[4]，因为pattern[1...4]=pattern[4...7]，所以pattern[4]=pattern[7]=pattern[1]，此时我们再来比较pattern[8]与pattern[2]，如果pattern[8] != pattern[2]，就可以将target[n]与pattern[2]，然后比较二者是否相等，此时next[8] = next[5] = f(2)。如果pattern[8] = pattern[2]，那么还需要考察pattern[f(2)]，直到回溯到模式串头部为止。下面给出根据f(j)值求next[j]的递推公式：

如果 pattern[j] != pattern[f(j)]，next[j] = f(j);

如果 pattern[j] = pattern[f(j)]，next[j] = next[f(j)];

当要求f(9)时，f(8)和next[8]已经可以得到，此时我们可以考察pattern[next[8]]，根据前面对于next值的计算方式，我们知道pattern[8] != pattern[next[8]]。我们的目的是要找到pattern[9]的包含前缀，而pattern[8] != pattern[5]，pattern[1...5]!=pattern[4...8]。我们继续考察pattern[next[5]]。如果pattern[8] = pattern[next[5]]，假设next[5] = 3，说明pattern[1...2] = pattern[6...7]，且pattern[3] = pattern[8]，此时对于pattern[9]而言，就有pattern[1...3]=pattern[6...8]，我们就找到了f(9) = 4。这里我们考察的是pattern[next[j]]，而不是pattern[f(j)]，这是因为对于next[]而言，pattern[j] != pattern[next[j]]，而对于f()而言，pattern[j]与pattern[f(j)]不一定不相等，而我们的目的就是要在pattern[j] != pattern[f(j)]的情况下，解决f(j+1)的问题，所以使用next[j]向前回溯，是正确的。

现在，我们来总结一下next[j]和f(j)的关系，next[j]是所有满足pattern[1...k - 1] = pattern[(j - (k - 1))...j -1](k < j)，且pattern[k] != pattern[j]的k中，k的最大值。而f(j)是满足pattern[1...k  - 1] = pattern[(j - (k - 1))...j -1](k < j)的k中，k的最大值。还是以上例的模式来说，对于第7个元素，其f(j) = 4, 说明pattern[7]的前3个字符与模式的前缀3相同，但是由于pattern[7] = pattern[4], 所以next[7] != 4。

通过以上这些，读者可能会有疑问，为什么不用f(j)直接作为KMP算法的跳转表呢？实际从程序正确性的角度讲是可以的，但是使用next[j]作为跳转表更加高效。还是以上面的模式为例，当target[n]与pattern[7]发生匹配失败时，根据f(j)，target[n]要继续与pattern[4]进行比较。但是在计算f(8)的时候，我们会得出pattern[7] = pattern[4]，所以target[n]与pattern[4]的比较也必然失败，所以target[n]与pattern[4]的比较是多余的，我们需要target[n]与更小的pattern进行比较。当然使用f(j)作为跳转表也能获得不错的性能，但是KMP三人将问题做到了极致。

我们可以利用f(j)作为媒介，来递推模式的跳转表next。算法如下：

<span style="font-size:18px;">inline void BuildNext(const char* pattern, size_t length, unsigned int* next)
{
	unsigned int i, t;

	i = 1;
	t = 0;
	next[1] = 0;

	while(i < length + 1)
	{
		while(t > 0 && pattern[i - 1] != pattern[t - 1])
		{
			t = next[t];
		}

		++t;
		++i;

		if(pattern[i - 1] == pattern[t - 1])
		{
			next[i] = next[t];
		}
		else
		{
			next[i] = t;
		}
	}

	//pattern末尾的结束符控制，用于寻找目标字符串中的所有匹配结果用
	while(t > 0 && pattern[i - 1] != pattern[t - 1])
	{
		t = next[t];
	}

	++t;
	++i;

	next[i] = t;
}
</span>

程序中，9到27行的循环需要特别说明一下，我们发现在循环开始之后，就没有再为t赋新值，也就是说，对于计算next[j]时的t值，在计算next[j+1]时，还会用得着。实际这时的t的就等于f(j)。还是以上例的目标串为例，当j等于1，我们可以得出t = f(2) = 1。使用归纳法，当计算完next[j]后，我们假设此时t=f(j)，此时第11～14行的循环就是要找到满足pattern[k] = pattern[j]的最大k值。如果这样的k存在，对于pattern[j+1]而言，其前k个元素，与模式的前缀k相同。此时的t+1就是f(j+1)。这时我们就要判断pattern[j+1]和pattern[t](t = t+1)的关系，然后求出next[j+1]。这里需要初始条件next[1] = 0。

利用跳转表实现字符串匹配的算法如下：

<span style="font-size:18px;">unsigned int KMP(const char* text, size_t text_length, const char* pattern, size_t pattern_length, unsigned int* matches)
{
	unsigned int i, j, n;
	unsigned int next[pattern_length + 2];

	BuildNext(pattern, pattern_length, next);

	i = 0;
	j = 1;
	n = 0;

	while(pattern_length + 1 - j <= text_length - i)
	{
		if(text[i] == pattern[j - 1])
		{
			++i;
			++j;

			//发现匹配结果，将匹配子串的位置，加入结果
			if(j == pattern_length + 1)
			{
				matches[n++] = i - pattern_length;
				j = next[j];
			}
		}
		else
		{
			j = next[j];

			if(j == 0)
			{
				++i;
				++j;
			}
		}
	}

	//返回发现的匹配数
	return n;
}
</span>

该算法在原有基础上进行了扩展，在原模式串末尾加入了一个“空字符”，“空字符”不等于任何的可输入字符，当目标串匹配至“空字符”时，说明已经在目标字符串中发现了模式，将模式串在目标串中的位置，加入matchs[]数组中，同时判定为匹配失败，并根据“空字符”的next值，跳转到适当位置，这样算法就可以识别出字符串中所有的匹配子串。

最后，对KMP算法的正确性做一简要说明，还是以上文的模式串pattern和目标串target为例，假设已经匹配到第3部的位置，且在target[13]处发现匹配失败，我们如何决定模式串的滑动步数，来保证既要忽略不必要的多余比较，又不漏过可能的匹配呢？

对于例子中的情况，显然向后移动多于3个字符有可能会漏过target[9...18]这样的的可能匹配。但是为什么向后移动1个或者2个字符是不必要的多余比较呢？当target[13]与pattern[8]匹配失败时，同时也意味着，target[6...12] = pattern[1...7]，而next[8]=5，意味着，pattern[1...4] = pattern[4...7]，pattern[1...5] != pattern[3...7]，pattern[1...6] != pattern[2...7]。如果我们将模式串后移1个字符，使pattern[7]与target[13]对齐，此时target[7...12]相当于pattern[2...7]，且target[7...12]与pattern[1..6]逐个对应，而我们已经知道pattern[1...6] != pattern[2...7]。所以不管target[13]是否等于pattern[7]，此次比较都必然失败。同理向前移动2个字符也是多余的比较。由此我们知道当在pattern[j]处发生匹配失败时，将当前输入字符与pattern[j]和pattern[next[j]]之间的任何一个字符对齐执行的匹配尝试都是必然失败的。这就说明，在模式串从目标串头移动到目标串末尾的过程中，除了跳过了必然失败的情况之外，没有漏掉任何一个可能匹配，所以KMP算法的正确性是有保证的。

后记：

• 首先要感谢Knuth-Morris-Pratt那篇光辉的论文《Fast Pattern Matching In Strings》，让我们在字符串处理的道路上看得更远。本文的例子和思路，均完全来自这篇论文，论文后面还对KMP算法的时间复杂度进行了彻底的分析。
• KMP算法是一个高度优化的精妙算法，所以初涉该算法的时候，不要指望一蹴而就，一下子就将KMP算法理解透，而是应该循序渐进，逐步加深理解。据说该算法是Knuth，Morris，Pratt三人分别独立发现的，我斗胆揣测一下该算法的演进历程。首先应该是发现了模式串前缀的自包含问题，然后是提出了f(j)的概念，然后是搞定了如何计算f(j)，然后提出了next[j]的概念，然后搞定了如何用f(j)计算next[j+1]，然后是只用f(j)做中间结果直接算出next[j+1]。之所以我会这么猜测，主要是因为next跳转表的概念和生成算法太高端，中间经历了多个转换，极难一步到位想出来这么搞。所以我们也应该按照这个流程来学习KMP算法，而如何计算f(j)则是整个算法的精髓所在。
  
• 实际上，KMP算法中所用到的跳转表next是一个简化了的DFA，对于DFA而言，其跳转和输入的字符集有关，而KMP算法中的跳转表，对于模式串中的当前位置j-1，只有两种跳转方式pattern[j]，和^pattern[j]，所以KMP算法的跳转功能要弱于DFA，但是其构建速度，又大大快于DFA，在花费较小代价的同时，取得了逼近DFA的效果。下面是对于文中使用的模式串生成跳转表（上）和DFA的比较，显然DFA要复杂的多（这个是我手画的如果有画错的地方，请读者不吝赐教）。