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朱、刘算法:求最小树形图权值个人理解+个人详解【最小树形图模板】

时间:2016-04-29 15:50:18      阅读:210      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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什么是最小树形图?相信大家如果会过来看这篇文章,想必也应该对最小生成树有所了解的,最小生成树求的是无向图的一颗生成树的最小权值。我们的最小树形图就是来解决一个有向图的一颗生成树的最小权值,对于度娘来说,最小树形图是这样定义的:最小树形图,就是给有向带权图中指定一个特殊的点root,求一棵以root为根的有向生成树T,并且T中所有边的总权值最小。
通解最小树形图的一种算法是是1965年朱永津刘振宏提出的复杂度为O(VE)的算法:朱、刘算法。


今天我们就来浅谈一下最小树形图的问题。

大题上完整的朱、刘算法是由四个大步骤组成的:

1、求最短弧集合E

2、判断集合E中有没有有向环,如果有转步骤3,否则转4

3、收缩点,把有向环收缩成一个点,并且对图重新构建,包括边权值的改变和点的处理,之后再转步骤1。

4、展开收缩点,求得最小树形图。

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因为我们ACM一般情况下都是在考察队最小树型图的权值问题,所以一般省略步骤4,对于其环的权值和在中间处理过程中就可以处理完毕。所以我们这里就不多讨论第四个点了。

我们分步处理、

1、首先我们先求最短弧集合E,对于当前图如果有n个点(一个有向环的收缩点算作一个点),我们就要选出n-1个点,确定其入边的最短边,由其组成的一个集合我们就叫做最短弧集合E,如果我们枚举到某一个点的时候,它没有入边,那么说明不存在最小树形图,所以这个时候算法结束,回到主函数。


代码实现:


        for(int i=1; i<=n; i++)if(i!=u&&!flag[i])//u作为图的根节点,flag【i】为1的情况就是表示这个点在某个有向环里边,并且他不是这个有向环的代表点(缩点)
            {
                w[i][i]=INF, pre[i] = i;//首先让当前点的前驱点为自己。
                for(int j=1; j<=n; j++)if(!flag[j] && w[j][i]<w[pre[i]][i])//枚举i的前驱点(从j能够到i的点),并且求其最短边,加入集合E中
                {
                    pre[i] = j;//并且标记当前点的前驱点为j
                }
                if(pre[i]==i)return -1;//如果当前枚举到的点i没有入边,那么就不存在最小树形图(因为一颗树是要所有节点都是连通的啊)
            }


2、然后我们对集合E中的边进行判断,判断是否有有向环。刚刚的代码实现里边有一个前驱节点的存储,所以在这个部分,我们直接一直向前枚举前驱点即可,如果枚举的前驱点最终能够枚举到根节点,那么这一部分就不存在有向环,否则就存在,对于每一个点都进行向前枚举即可。


        int i;
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            if(i!=u&&!flag[i])
            {
                int j=i, cnt=0;
                while(j!=u && pre[j]!=i && cnt<=n) j=pre[j], ++cnt;//对于每个节点都找前驱节点,看看能否成环。
                if(j==u || cnt>n) continue; //最后能找到起点(根)或者是走过的点已经超过了n个,表示没有有向环
                break;//表示有有向环
            }
        }


3、如果有有向环呢,我们需要对有向环进行缩点,既然我们是枚举到节点i的时候发现有有向环,我们不妨把有向环里边的点都收缩成点i。对于收缩完之后会形成一个新的图,图的变化规律是这样的:

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上图变换成语言描述:如果点u在环内,如果点k在环外,并且从k到u有一条边map【u】【v】=w,并且在环内还有一点i,使得map【i】【k】=w2,辣么map【k】【收缩点】=w-w2;

基于贪心思想,对于环的收缩点i和另外一点k(也在环内),对于环外一点j,如果map【k】【j】 <map【i】【j】,辣么map【i】【j】=map【k】【j】,因为是有向图,入收缩点的边要这样处理,出收缩点的边也要这样处理,对于刚刚三个步骤:收缩点,收缩点处理新图的边权值,以及基于贪心思想的最终处理点i的出边入边权值,后两者我们可以合并成一个操作,其分别的代码实现:

3、收缩点:

        int j=i;
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        do
        {
            ans += w[pre[j]][j], j=pre[j], vis[j]=flag[j]=true;//对环内的点标记,并且直接对环的权值进行加和记录,在最后找到最小树形图之后就不用展开收缩点了
        }
        while(j!=i);
        flag[i] = false; // 环缩成了点i,点i仍然存在

4、处理收缩点后形成的图:
        for(int k=1; k<=n; ++k)if(vis[k])  // 在环中点点,刚刚在收缩点的时候,已经把在环中的点进行标记了。
            {
                for(int j=1; j<=n; j++)if(!vis[j])   // 不在环中的点
                    {
                        if(w[i][j] > w[k][j]) w[i][j] = w[k][j];
                        if(w[j][k]<INF && w[j][k]-w[pre[k]][k] < w[j][i])
                            w[j][i] = w[j][k] - w[pre[k]][k];
                    }
            }
处理完4之后,我们就回到步骤1,继续找最小弧集E,最后找到了一个没有环的最小弧集E之后,对于没有弧的集合E中的所有边(包括能将收缩点展开的边)就是我们要求的最小树形图的边集。

因为我们ACM一般求的都是最小树形图的权值,所以我们一般不需要展开收缩点,在处理环的时候,直接将其边权值记录下来就好,当找到一个没有环的集合E的时候,对其中的最后边权值进行加和即可,对于最后这部分的加权,代码实现:

        if(i>n)//这块代码是紧接着代码2之后的部分,如果枚举了所有点i都没有发现有向环,辣么就是找到了这个最终集合。
        {
            for(int i=1; i<=n; i++)if(i!=u && !flag[i]) ans+=w[pre[i]][i];//最后对这个最后的集合E里边所有边加和即可。
            return ans;
        }
完整的朱、刘算法代码实现(没有展开收缩点的):

void init()//不能少了初始化的内容
{
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(flag, 0, sizeof(flag));
    for(int i=0; i<=n; i++)
    {
        w[i][i] = INF;
        for(int j=i+1; j<=n; j++)
            w[i][j]=w[j][i]=INF;
    }
}

double directed_mst(int u)//u表示根节点
{
    double ans=0;
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    while(true)
    {
        //求最短弧集合E
        for(int i=1; i<=n; i++)if(i!=u&&!flag[i])
            {
                w[i][i]=INF, pre[i] = i;
                for(int j=1; j<=n; j++)if(!flag[j] && w[j][i]<w[pre[i]][i])
                {
                    pre[i] = j;
                }
                if(pre[i]==i)return -1;//也可以用dfs预处理判断凸的连通
            }
        //判断E是否有环
        int i;
        for(i=1; i<=n; i++)
        {
            if(i!=u&&!flag[i])
            {
                int j=i, cnt=0;
                while(j!=u && pre[j]!=i && cnt<=n) j=pre[j], ++cnt;
                if(j==u || cnt>n) continue; //最后能找到起点(根)或者是走过的点已经超过了n个,表示没有有向环
                break;
            }
        }
        if(i>n)
        {
            for(int i=1; i<=n; i++)if(i!=u && !flag[i]) ans+=w[pre[i]][i];
            return ans;
        }
        //有环,进行收缩,把整个环都收缩到一个点i上。
        int j=i;
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        do
        {
            ans += w[pre[j]][j], j=pre[j], vis[j]=flag[j]=true;//对环内的点标记,并且直接对环的权值进行加和记录,在最后找到最小树形图之后就不用展开收缩点了
        }
        while(j!=i);
        flag[i] = false; // 环缩成了点i,点i仍然存在

        //收缩点的同时,对边权值进行改变
        for(int k=1; k<=n; ++k)if(vis[k])  // 在环中点点
            {
                for(int j=1; j<=n; j++)if(!vis[j])   // 不在环中的点
                    {
                        if(w[i][j] > w[k][j]) w[i][j] = w[k][j];
                        if(w[j][k]<INF && w[j][k]-w[pre[k]][k] < w[j][i])
                            w[j][i] = w[j][k] - w[pre[k]][k];
                    }
            }
    }
    return ans;
}












朱、刘算法:求最小树形图权值个人理解+个人详解【最小树形图模板】

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原文地址:http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/51276668

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