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首先我们要知道pick公式
设二维平面内任意多边形面积为S
设多边形内部整点数为a
设多边形边界的整点数为b
则满足S=a+b/2-1
变形得a=S-b/2+1
由期望的线性性质我们把问题转化为
1、求凸包面积的期望
2、求凸包边界整点数的期望
首先我们考虑如何算面积，对于任意凸多边形，我们可以以原点为划分点
对于每条边算叉积，叉积的和就是面积，很容易发现每条边的贡献是可以拆分的
显然我们可以枚举每条可能的边，对于这条边算他存在凸包的概率并乘以相应的贡献就可以辣
一共有n^2条边，所以这部分时间复杂度为O(n^2)
之后我们考虑如何算边界整点数的期望，更容易发现每条的边的贡献是可以拆分的
跟上面一个做法就可以了
至于每条边存在凸包的概率嘛，我就不再细说了
很容易推倒的公式，用心推一推就出来了
假设你已经知道概率的公式了
Em 好啦，我们现在来说一说O(n)的做法
很容易发现随着我们枚举的边的两个端点中间的点数的扩大，概率会越来越小
当概率不会对答案产生精度误差时，我们就可以不用计算辣
这就是O(n)的算法了
最后的最后一定要注意不能选退化的凸包，所以算概率的时候要考虑进去
PS：由于本人太辣鸡，并不能做出很大的严格凸包，所以这个题目只是简单的idea题喽
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原文地址：http://www.cnblogs.com/joyouth/p/5448334.html
