算法时间复杂度

算法时间复杂度

定义：

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n) 是关于问题规模 n 的函数，进而分析 T(n) 随 n 的变化情况并确定T(n) 的数量级.
算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O( f (n) ) 【大O记法】。它表示随着问题规模 n 的增大，算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中， f(n) 是问题规模 n 的某个函数。

一般情况下，随着 n 的增长，T(n) 增长最慢的算法为最优算法。

常用的时间复杂度

所耗费的时间：

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n^2) < O(n^3) < O(2^n) < O(n!) < O(n^n)

推倒大O阶的方法：
- 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
【举例：如果某个算法运行次 数是f(n) = 3，那么大O阶为 O(1),而不是O(3)】
- 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
- 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数

得到的结果就是大O阶

最坏情况和平均情况

举例：
查找一个有n个随机数字数组中的某个数字，若该数字在数组中的第一个位置，则算法的时间复杂度为O(1)，若该数在数组的最后一个位置，则为O(n)，此时即为最坏情况。

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间不会比这个更坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。

对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏的时间复杂度。

算法空间复杂度

算法的空间复杂度 通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作 ：S(n) = O( f(n) )，其中，n 为问题的规模，f(n) 为语句关于n所占存储空间的函数。

若算法执行时所需要的辅助空间相对于输入数据量而言是个常量，则称此算法为原地工作，空间复杂度为 O(1)。

 当直接使用“复杂度”时，通常都是指时间复杂度。