判断一个数是否为质数/素数——从普通判断算法到高效判断算法思路

最直观的方法，根据定义，因为质数除了1和本身之外没有其他约数，所以判断n是否为质数，根据定义直接判断从2到n-1是否存在n的约数即可。C++代码如下：

bool isPrime_1( int num )
{
    int tmp =num- 1;
    for(int i= 2;i <=tmp; i++)
      if(num %i== 0)
         return 0 ;
    return 1 ;
}

2）直观判断法改进

bool isPrime_2( int num )
{
     int tmp =sqrt( num);
     for(int i= 2;i <=tmp; i++)
        if(num %i== 0)
          return 0 ;
     return 1 ;
}

3）另一种方法

方法（2）应该是最常见的判断算法了，时间复杂度O(sqrt(n))，速度上比方法（1）的O(n)快得多。最近在网上偶然看到另一种更高效的方法，暂且称为方法（3）吧，由于找不到原始的出处，这里就不贴出链接了，如果有原创者看到，烦请联系我，必定补上版权引用。下面讲一下这种更快速的判断方法；
首先看一个关于质数分布的规律：大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等；

bool isPrime_3( int num )
{
                 //两个较小数另外处理
                 if(num ==2|| num==3 )
                                 return 1 ;
                 //不在6的倍数两侧的一定不是质数
                 if(num %6!= 1&&num %6!= 5)
                                 return 0 ;
                 int tmp =sqrt( num);
                 //在6的倍数两侧的也可能不是质数
                 for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 )
                                 if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 )
                                                 return 0 ;
                 //排除所有，剩余的是质数
                 return 1 ;
}

#include <iostream>
#include <string>
#include <ctime>
#include <vector>
using namespace std;
bool isPrime_1( int num );
bool isPrime_2( int num );
bool isPrime_3( int num );
int main()
{
                 int test_num =400000;
                 int tstart ,tstop; //分别记录起始和结束时间
                 //测试第一个判断质数函数
                 tstart=clock ();
                 for(int i= 1;i <=test_num; i++)
                                 isPrime_1(i );
                 tstop=clock ();
                 cout<<"方法(1)时间(ms):" <<tstop- tstart<<endl ;//ms为单位
                 //测试第二个判断质数函数
                 tstart=clock ();
                 for(int i= 1;i <=test_num; i++)
                                 isPrime_2(i );
                 tstop=clock ();
                 cout<<"方法(2)时间(ms):" <<tstop- tstart<<endl ;
                 //测试第三个判断质数函数
                 tstart=clock ();
                 for(int i= 1;i <=test_num; i++)
                                 isPrime_3(i );
                 tstop=clock ();
                 cout<<"方法(3)时间(ms):" <<tstop- tstart<<endl ;
                 cout<<endl ;
                 system("pause" );
                 return 0 ;
}