弦图 完美消除序列 MCS算法

对于普通图的两个性质：

最大团数 $\le$ 最小色数
最大独立集 $\le$ 最小团覆盖

而在弦图就变成了：

最大团数=最小色数
最大独立集=最小团覆盖
（虽然不知道有什么用

完美消除序列：

对与序列中的点vi，排在vi后面并且和vi相连的点是一个团
一个图存在完美消除序列是它是弦图的充要条件

那么完美消除序列有什么用呢？用处可大啦
求弦图的最大团数/最小色数的时候，只要在完美消除序列上从后往前贪心染色即可。
而求最大独立集/最小团覆盖的时候，只要在完美消除序列上从前往后贪心取点即可。

那么就来了一系列的问题，首先是弦图的判定，我们需要确定这个图有没有完美消除序列。

MCS算法

从后往前确定序列的点，每取一个点都把还没加入序列的和它相连的点的标号+1，每次取点选择标号最大的点之一。
具体实现好难描述不想说了= =下面有代码，复杂度O(m+n)

据说如果图是弦图，这个算法求出来的序列可以保证是完美消除序列
那么当我们需要判定弦图的时候，就要判断这个序列是不是完美消除序列了。
判断的方法是：
从后往前确定序列中的每个点v是否满足条件：排在v后面的和v相连的点集记为N(v)中排在最前的点记为next(v)是否和N(v)中其他点都相连。
具体实现是，点数少的话直接拿邻接矩阵判相连O(m+n)，点数多就把边表排序然后二分O(mlogm+n)。

至此我们已经知道如何解决弦图判定问题和如何求完美消除序列了，那么现在看看具体例题

zoj1015:

裸的弦图判定，点数1000，直接按照上面的做法瞎搞即可
代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>

using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;

#define rep(i,k,n) for(int i=(k);i<=(n);i++)
#define rep0(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define red(i,k,n) for(int i=(k);i>=(n);i--)
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define clr(x,y) memset((x),(y),sizeof(x))
#define pb push_back
#define mod 1000000007
const int maxn=1010;
const int maxm=3500010;

struct List
{
    int v,next;
}list[maxm];
int eh[maxn],tot,mh[maxn];

inline void add(int h[],int u,int v)
{
    list[tot].v=v;
    list[tot].next=h[u];
    h[u]=tot++;
}

int n,m,best;
int q[maxn],f[maxn],g[maxn];
bool vis[maxn];

void MCS()
{
    clr(mh,-1);clr(vis,0);clr(f,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)add(mh,0,i);
    best=0;
    for(int j=n;j;j--)
    {
        while(1)
        {
            int i;
            for(i=mh[best];~i;i=list[i].next)
            {
                if(!vis[list[i].v])break;
                else mh[best]=list[i].next;
            }
            if(~i)
            {
                int x=list[i].v;
                q[j]=x;g[x]=j;
                vis[x]=1;
                for(i=eh[x];~i;i=list[i].next)if(!vis[list[i].v])
                {
                    f[list[i].v]++;
                    add(mh,f[list[i].v],list[i].v);
                    best=max(best,f[list[i].v]);
                }
                break;
            }
            else best--;
        }
    }
}

int st[maxn],top;
bool e[maxn][maxn];

bool checkq()
{
    for(int j=n-1;j;j--)
    {
        int u=q[j];
        top=0;
        int ming=n+1,minv;
        for(int i=eh[u];~i;i=list[i].next)if(g[list[i].v]>j)
        {
            st[++top]=list[i].v;
            if(g[list[i].v]<ming)
            {
                ming=g[list[i].v];
                minv=list[i].v;
            }
        }
        if(ming==n+1)continue;
        for(int i=1;i<=top;i++)if(st[i]!=minv)
        {
            if(!e[minv][st[i]])return 0;
        }
    }
    return 1;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m),n)
    {
        clr(eh,-1);tot=0;
        clr(e,0);

        int u,v;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&u,&v);
            add(eh,u,v);
            add(eh,v,u);
            e[u][v]=e[v][u]=1;
        }

        MCS();
        puts(checkq()?"Perfect":"Imperfect");
        puts("");
    }

    return 0;
}

bzoj1006:

裸的弦图的最小染色数，直接按照上面做法瞎搞即可
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<iomanip>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<queue>

using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;

#define rep(i,k,n) for(int i=(k);i<=(n);i++)
#define rep0(i,n) for(int i=0;i<(n);i++)
#define red(i,k,n) for(int i=(k);i>=(n);i--)
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define clr(x,y) memset((x),(y),sizeof(x))
#define pb push_back
#define mod 1000000007
const int maxn=10010;
const int maxm=4000010;

struct List
{
    int v,next;
}list[maxm];
int eh[maxn],tot,mh[maxn];

inline void add(int h[],int u,int v)
{
    list[tot].v=v;
    list[tot].next=h[u];
    h[u]=tot++;
}

int n,m,best,q[maxn],f[maxn],color[maxn],mark[maxn];
bool vis[maxn];

void MCS()
{
    clr(mh,-1);clr(vis,0);clr(f,0);
    rep(i,1,n)add(mh,0,i);
    best=0;
    red(j,n,1)
    {
        while(1)
        {
            int i;
            for(i=mh[best];~i;i=list[i].next)
            {
                if(!vis[list[i].v])break;
                else mh[best]=list[i].next;
            }
            if(~i)
            {
                int x=list[i].v;
                q[j]=x;vis[x]=1;
                for(i=eh[x];~i;i=list[i].next)
                {
                    int v=list[i].v;
                    if(vis[v])continue;
                    f[v]++;
                    add(mh,f[v],v);
                    best=max(best,f[v]);
                }
                break;
            }
            else best--;
        }
    }
}


int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int u,v;
    clr(eh,-1);tot=0;
    rep(i,1,m)
    {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        add(eh,u,v);
        add(eh,v,u);
    }
    MCS();
    clr(mark,0);clr(color,0);
    int ans=0;
    red(j,n,1)
    {
        for(int i=eh[q[j]];~i;i=list[i].next)mark[color[list[i].v]]=j;
        int i;
        for(i=1;mark[i]==j;i++);
        color[q[j]]=i;
        ans=max(ans,i);
    }
    printf("%d\n",ans);

    return 0;
}

具体求最大独立集和最小团覆盖主要还是求完美消除序列，剩下的东西也差不多，暂时也没找到题目，就不详细说啦

另外，还有找弦图所有极大团的问题。这里就要用到上面说的N(v)和next(v)， 显然极大团一定是v$\cup$N(v)的形式，那么判断它是不是极大团只要判断是否存在一个w,满足 next(w)=v 且 |N(v)|+1$\leq$|N(w)|
据说复杂度是O(m+n)暂时没研究过不清楚。。。