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【简介】
解决LCA问题的倍增法是一种基于倍增思想的在线算法。
【原理】
原理和同样是使用倍增思想的RMQ－ST 算法类似,比较简单，想清楚后很容易实现。
对于每个节点u , ancestors[u][k] 表示 u 的第2k个祖先是谁。很容易就想到递推式： ancestors[j][i] = ancestors[ancestors[j][i - 1]][i - 1]; 根据二进制原理，理论上 u 的所有祖先都可以根据ancestors数组多次跳转得到，这样就间接地记录了每个节点的祖先信息。
查询LCA(u,v)的时候：
（一）u和v所在的树的层数如果一样，令u‘=u。否则需要平衡操作（假设u更深），先找到u的一个祖先u‘, 使得u‘的层数和v一样，此时LCA(u,v)=LCA(u‘,v) 。证明很简单：如果LCA(u,v)=v , 那么u‘一定等于v ;如果LCA(u,v)=k ，k!=v ，那么k 的深度一定小于 v ， u、u‘、v 一定在k的子树中；综上所述，LCA(u,v)=LCA(u‘,v)一定成立。
（二）此时u‘ 和 v 的祖先序列中一开始的部分一定有所重叠，重叠部分的最后一个元素（也就是深度最深，与u‘、v最近的元素）就是所求的LCA(u,v)。这里ancestors数组就可以派上用场了。找到第一个不重叠的节点k，LCA(u,v)=ancestors[k][0] 。 找k的过程利用二进制贪心思想，先尽可能跳到最上层的祖先，如果两祖先相等，说明完全可以跳小点，跳的距离除2，这样一步步跳下去一定可以找到k。
1. DFS预处理出所有节点的深度和父节点 inline void dfs(int u) { int i; for(i=head[u];i!=-1;i=next[i]) { if (!deep[to[i]]) { deep[to[i]] = deep[u]+1; p[to[i]][0] = u; //p[x][0]保存x的父节点为u; dfs(to[i]); } } } 2. 初始各个点的2^j祖先是谁 ,其中 2^j (j =0...log(该点深度))倍祖先，1倍祖先就是父亲，2倍祖先是父亲的父亲......。 void init() { int i,j; //p[i][j]表示i结点的第2^j祖先 for(j=1;(1<<j)<=n;j++) for(i=1;i<=n;i++) if(p[i][j-1]!=-1) p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];//i的第2^j祖先就是i的第2^(j-1)祖先的第2^(j-1)祖先 } 3.从深度大的节点上升至深度小的节点同层，如果此时两节点相同直接返回此节点，即lca。 否则，利用倍增法找到最小深度的 p[a][j]!=p[b][j]，此时他们的父亲p[a][0]即lca。 int lca(int a,int b)//最近公共祖先 { int i,j; if(deep[a]<deep[b])swap(a,b); for(i=0;(1<<i)<=deep[a];i++); i--; //使a，b两点的深度相同 for(j=i;j>=0;j--) if(deep[a]-(1<<j)>=deep[b]) a=p[a][j]; if(a==b)return a; //倍增法，每次向上进深度2^j，找到最近公共祖先的子结点 for(j=i;j>=0;j--) { if(p[a][j]!=-1&&p[a][j]!=p[b][j]) { a=p[a][j]; b=p[b][j]; } } return p[a][0]; }
附上题解：
1 #define N 50100 2 #include<iostream> 3 using namespace std; 4 #include<cstdio> 5 #include<cstring> 6 #define L 17 7 struct Edge{ 8 int v,last,c; 9 }edge[N*6]; 10 int head[N],p[N][L]; 11 int deep[N]={0}; 12 int root[N]={0}; 13 long long dis[N]={0}; 14 int n,m,u,v,c,t=0; 15 void add_edge(int u,int v,int w) 16 { 17 ++t; 18 edge[t].v=v;/*建边*/ 19 edge[t].c=w; 20 edge[t].last=head[u]; 21 head[u]=t; 22 //root[u]++; 23 } 24 void input() 25 { 26 scanf("%d",&n); 27 for(int i=1;i<n;++i) 28 { 29 scanf("%d%d%d",&u,&v,&c); 30 add_edge(u,v,c); 31 add_edge(v,u,c); 32 } 33 memset(p,-1,sizeof(p));/*因为节点编号是从0开始的，所以把祖先不存在，设为-1*/ 34 } 35 void dfs(int u,long long di) 36 { 37 dis[u]=di;/*统计u到根节点的距离*/ 38 for(int l=head[u];l;l=edge[l].last) 39 { 40 if(!deep[edge[l].v]) 41 { 42 deep[edge[l].v]=deep[u]+1;/*处理孩子的深度*/ 43 p[edge[l].v][0]=u;/*初始化p数组*/ 44 dfs(edge[l].v,di+edge[l].c); 45 } 46 } 47 } 48 void init() 49 { 50 int i,j; 51 for(j=1;(1<<j)<n;j++) 52 for(int i=0;i<n;++i) 53 if(p[i][j]=-1) 54 p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];/*DP处理出i的所有2^j祖先是谁*/ 55 } 56 int lca(int a,int b)/*求最近公共祖先*/ 57 { 58 int i,j; 59 if(deep[a]<deep[b]) swap(a,b); 60 for(i=0;(1<<i)<=deep[a];++i); 61 i--;/*i为估计a到根节点的最远距离，下边的平衡操作，跳点从i开始，一定可以实现*/ 62 for(j=i;j>=0;--j) 63 if(deep[a]-deep[b]>=(1<<j))/*倍增缩短a与b之间的距离*/ 64 a=p[a][j]; 65 if(a==b) return a;/*当a和b到了同一深度的时候，判断是否已经相同了*/ 66 for(int j=i;j>=0;--j) 67 { 68 if(p[a][j]!=-1&&p[a][j]!=p[b][j]) 69 { 70 a=p[a][j];/*最终的a是lca的子节点*/ 71 b=p[b][j]; 72 } 73 74 }/*先大步大步的蹦，每蹦一步，路程减少，下次蹦前一次的一半，直到蹦不了了，就是答案*/ 75 return p[a][0]; 76 } 77 /*当a有祖先，并且a，b的祖先不相同的时候，（我们想要寻找的就是lca的子节点，也就是最小深度的p[a][j]!=p[b][j]），根据二进制原理，一定可以通过各种组合走到每一个祖先*/ 78 int main() 79 { 80 input(); 81 dfs(0,0);/*题目意思是0为根节点*/ 82 /*for(int i=0;i<n;++i) 83 { 84 if(root[i]==2) 85 { 86 dfs(i,0);/*如果是一棵二叉树，可以统计出度为2的点是根节点*/ 87 break; 88 } 89 }*/ 90 init(); 91 scanf("%d",&m); 92 while(m--) 93 { 94 scanf("%d%d",&u,&v); 95 int zu=lca(u,v);/*在线算法，可以按照顺序查询*/ 96 cout<<dis[u]+dis[v]-2*dis[zu]<<endl;/*求最近距离的公式*/ 97 } 98 return 0; 99 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/c1299401227/p/5503540.html
