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学过数据结构的都知道优先队列这种东西，普通的队列是依据入队顺序，先入队的先出队，而优先队列则是依照键值，键值越大（或越小），就越先出队。
所以，优先队列基本支持push，pop，empty，size，top，这几种操作。最近在看C++prime，学了类之后觉得非常适合用来实现高级数据结构，于是就动手做了一下，花了一周，终于弄好了。以下的实现都默认最小堆。
二叉堆：
最常用，最简单的堆实现，因为二叉堆是完全二叉树，所有可以使用顺序存储结构，也就是说，数组来保存数据。二叉堆主要基于上滤与下滤操作来维持堆序（任意节点大与等于或小于等于他的子节点）而完全二叉树基本是平衡树，所以这些操作都是log2 N的时间复杂度，最后顺便一提，二叉堆可用于实现堆排序的算法。
#include <iostream> #include <vector> class Bheap{//默认最小堆 public: typedef int Element; Bheap(const Element &Most); Bheap(Element *arr, int size, const Element &Most); ~Bheap(); void push(const Element &e); void pop(); bool empty(); const Element& top(); int size(); void sort(); private: std::vector<Element> data; Element MostEle; void PercolateDown(int loca); void PercolateUp(int loca); }; void Bheap::PercolateDown(int loca){ int j, cur = data[loca]; for (j = loca; j*2<data.size();){ j *=2; if (j + 1 < data.size() && data[j + 1] < data[j]){ j++; } if (data[j]<cur) data[j / 2] = data[j]; else{ j /= 2; break; } } data[j] = cur; } void Bheap::PercolateUp(int loca){ int e = data[loca]; while (1){ if (e<data[loca /2]){ data[loca] = data[loca / 2]; loca /=2; } else{ break; } } data[loca] = e; } Bheap::~Bheap() { } Bheap::Bheap(Element *arr, int size, const Element &Most) :data(1, Most), MostEle(Most){ for (int i = 0; i < size; i++){ data.push_back(arr[i]); } for (int i = ((this->size()) /2); i > 0; i--){ PercolateDown(i); } } Bheap::Bheap(const Element& Most) : data(1, Most), MostEle(Most) { } void Bheap::push(const Element &e){ data.push_back(e); PercolateUp(data.size() - 1); } void Bheap::pop(){ data[1] = data[data.size() - 1]; data.resize(data.size() - 1); PercolateDown(1); } bool Bheap::empty(){ return data.size() <= 1; } const Bheap::Element& Bheap::top(){ return data[1]; } int Bheap::size(){ return data.size() - 1; } void Bheap::sort(){ for (int i = data.size() - 1; i > 0; i--){ Element t = data[1]; data[1] = data[i]; data[i] = t; int j, cur = data[1]; for (j = 1; j * 2<i;){ j *=2; if (j + 1 < i && data[j + 1] < data[j]){ j++; } if (data[j]<cur) data[j / 2] = data[j]; else{ j /= 2; break; } } data[j] = cur; } }
左式堆：
左式堆是一颗二叉树，一般来说，我们更都喜欢平衡的树，平衡的树深度小，各种操作起来效率都更高，但是，左式堆却反其道而行之，最求不平衡的树，在实现avl树时，我们使用了左右子树的深度来作为树是否“比较平衡”的指标，而在左式堆中，我们也有类似的指标，npl（NULL path length），规定子节点数为0与1的节点的npl为0，空节点的npl为-1，任意节点的npl为他所有子节点中npl小的节点的npl+1。左式堆就是保持任意节点的左子树npl始终大于等于右子树的npl，这样的效果就是左子树始终比右子树深，虽然左子树深了，但是右子树就浅了啊，于是就可以大概保证push，pop操作为log2N，而且，不同于二叉堆，左式堆可以高效地支持合并操作，时间复杂度也是log2N左右，甚至，左式堆的所有操作都是基于合并操作。那么具体是怎么合并呢？因为是堆，于是保持着堆序，对于两个左式堆，我们比较根处的值，将小的堆的右子树与大的堆合并，并作为小的堆新的右子树，并且要更新npl，并根据npl决定是否交换子树，上面说过，左子树深了，右子树就浅了，于是就不用担心递归实现会爆栈来，因为，右子树非常浅（不大于log2N），深到递归实现会爆栈所需的数据是夸张的，所有可以放心地递归实现，但是我用了堆栈做了非递归实现（说了那么多，你居然没有用递归）。
#include <iostream> #include <vector> #include <stack> class Lheap { private: typedef int Element; struct LheapNode { Element e; LheapNode*left; LheapNode*right; int npl; LheapNode(); ~LheapNode(); void swapchild(); void renewnpl(); const LheapNode& operator = (const LheapNode&a); }; LheapNode *node; int Size; void Merge1(Lheap &a); public: Lheap(); Lheap(const Element &E); Lheap(const LheapNode* a); Lheap(const Element *arr, int size); ~Lheap(); void Merge(const Lheap &a); void pop(); const Element &top(); bool empty(); int size()const; void push(const Element &E); }; Lheap::LheapNode::LheapNode() :left(NULL), right(NULL), npl(0){} Lheap::LheapNode::~LheapNode(){ delete left; delete right; } void Lheap::LheapNode::renewnpl(){ if (right){ if (left){ if (right->npl > left->npl){ swapchild(); } npl = right->npl + 1; } else{ swapchild(); npl = 0; } } else{ npl = 0; } } void Lheap::LheapNode::swapchild(){ LheapNode* t = left; left = right; right = t; } const Lheap::LheapNode& Lheap::LheapNode:: operator = (const LheapNode&a){ if (a.left){ if (left == NULL) left = new LheapNode; *left = *a.left; } if (a.right){ if (right == NULL) right = new LheapNode; *right = *a.right; } npl = a.npl; e = a.e; return *this; } Lheap::Lheap() :node(NULL),Size(0) { } Lheap::Lheap(const Element *arr, int size) : node(NULL), Size(0) { node = new LheapNode; node->e = arr[0]; for (int i = 1; i < size; i++) push(arr[i]); } Lheap::Lheap(const Element &E) : node(NULL), Size(0){ node = new LheapNode; node->e = E; } Lheap::~Lheap() { delete node; } bool Lheap::empty(){ return node == NULL; } void Lheap::Merge1(Lheap &a){ if (node == NULL){ node = a.node; a.node = NULL; return; } std::stack<LheapNode*> s; s.push(node); LheapNode *b = a.node,*t; while (1){ if (s.top()->e < b->e){ if (s.top()->right){ s.push(s.top()->right); } else{ break; } } else{ if (b->right){ t = s.top();s.pop(); s.push(b); b = t; s.push(s.top()->right); } else{ t = s.top();s.pop(); s.push(b); b = t; break; } } } while (!s.empty()){ t = s.top(); s.pop(); t->right = b; b = t; b->renewnpl(); } node = b; a.node = NULL; } void Lheap::Merge(const Lheap &a){ Lheap t; t.node = new LheapNode; *t.node = *a.node;//此处可根据需要选择是否要保留被并入的堆，不需要的话直接Merge1（a)就好了 Merge1(t); Size += a.Size; } void Lheap::push(const Element &E){ Lheap t(E); Merge1(t); Size++; } void Lheap::pop(){ LheapNode *L = node->left,*R=node->right; node->left = node->right =NULL; delete node; node = L; if (R){ Lheap t; t.node = R; Merge1(t); } Size--; } const Lheap::Element& Lheap::top(){ return node->e; } int Lheap::size()const{ return Size; }
二项队列：
二项树，是一种特殊的树，他的特点是，我们把一棵有2^k个节点的树叫做K树，k树有k-1个子树，分别是0到k-1树，而二项队列就是按k树k值大小排列的队列（说好的队列呢），此外，二项队列有一个最大的特点，那就是每种树都只能存在一棵，如果存在两颗呢？那我们就要将他们合并为一棵树，比如说，如果有两颗0树，那么，我们就要将他们合并为一棵1树，怎么合并呢？想想，我们要构造的是堆，于是二项树就必须符合堆序，那我们就只要将根值大的作为小的的子树。说到这些，有没有觉得熟悉呢？我们看一下二进制的加法，
1001 8+0+0+1
0011 0+0+2+1
1100 8+4+0+0
明白了吧，二项队列的具体结构与插入的值无关，虽然他是个堆，但是他长得怎么样，和你给他什么值没什么关系，很奇怪对不对，但真的是这样，二项队列的结构取决于插入元素的个数。二项队列的特质，使他唯一对应于一个二进制数字，于是我们可以利用两个堆大小对应二进制数字的加法来控制流程。然后，我们对它的操作做分析，首先对合并操作进行分析，首先，我们知道，对于一个有N个元素的二项队列，长度不超过Log2N，因为，一个二项队列对应一个二进制整数。合并相当于一次加法运算，二项队列的合并就是对其队列中的二项树自小到大进行合并，插入下一位的操作（进位），那么复杂度是O（log2N），pop操作则是在队列中寻找根最小的二项树（花费Log2N），将其子树当成新队列，与除去了二项队列中该树，再将该队列与新队列合并，操作也是log2N，最后，就是push操作，二项队列最大的特点就是，虽然不能保证每次操作都是o（1）的时间复杂度，但是可以保证M次push操作，平均的时间复杂度是（MLog2N),为什么呢？我们来分析一下，对于push操作，相当于一个二项队列与对应1的二项队列相加。首先，先明白这样一件事，push操作花费的时间取决于二项队列结尾出现第一个0之前1的个数，比如说，00就只需要一次插入，01就需要一次插入，一次合并，011就需要一次插入，两次合并，假设一个二项队列在进行push操作前大小是k，通过M次插入操作变为k+M，该过程中，最低位为1的概率有1/2，于是有一半的数需要一次合并，而显然剩下的树不需要再合并，然后在这一半的数中，又有一半的数第二位为1，他们需要第二次合并，而另一半则不需要，依此类推，从k到k+M-1这M个数，所需合并次数为 M/2+M/4+M/8....+1，假设M为偶数（因为奇数结果也差不了多少），则为M（1+1/2+1/4+。。。+1/Log2M)=M-1,于是M次合并，平均需要O（M-1/M）=O（1）的时间复杂度。这种分析方式就是所谓的摊还分析了，有的数据结构，比如伸展树，比如斜堆，都有虽然不能保证每次操作是O（x），但是能保证M次操作为O（Mx）的特点，这种分析比较复杂，我到现在都不是很会，于是你会发现我在分析上面两种实现时草草带过，二叉堆是因为真的没有什么好说的，左式堆是因为我真的没有什么会说的。。。还是好好学习一下怎么进行摊还分析吧。另外，优先队列的实现中没有斜堆，因为他和左式堆差不多，区别就像AVL树与伸展树差不多，他不会通过npl这种东西来判断是否交换子树，他只是简单粗暴地交换每个合并的节点的子树。。。。最后吐槽一下，说好的队列，结果我使用deque来作为队列，但最后才发现，直接开个32大小的数组反而比较实在，毕竟可以存2^31大约10亿个数据了，对于我这种没见过世面的人来说已经妥妥的了。
#include <iostream> #include <vector> const int Default_size=32; class Bqueue { private: typedef int Element; struct BtreeNode { BtreeNode*child; BtreeNode*sibling; Element data; BtreeNode(); ~BtreeNode(); }; typedef BtreeNode * Btree; std::vector<Btree> q; int Size; public: Bqueue(); Bqueue(int size); Bqueue(Element *arr, int size); ~Bqueue(); void push(const Element &e); void pop(); Bqueue& Merge(Bqueue &Q); int size()const; const Element& top()const; bool empty()const; Btree combineTree(Btree T1, Btree T2)const; }; Bqueue::BtreeNode::BtreeNode():child(NULL), sibling(NULL){} Bqueue::BtreeNode::~BtreeNode(){ delete child; delete sibling; } Bqueue::Bqueue() :Size(0){ q.resize(Default_size); } Bqueue::Bqueue(int size) : Size(size){ q.resize(Default_size); } Bqueue::~Bqueue(){ for (std::vector<Btree>::iterator p = q.begin(); p != q.end(); p++) delete *p; } Bqueue& Bqueue::Merge(Bqueue &Q){ Btree T1, T2,Carry=NULL; Size += Q.size(); for (int i = 0, j = 1;j<=Size; i++, j *= 2){ T1 = q[i]; T2 = Q.q[i]; switch (!!T1+2*!!T2+4*!!Carry) { case 0: case 1: break; case 2: q[i] = T2; Q.q[i] = NULL; break; case 3: Carry = combineTree(T1, T2); q[i] = Q.q[i] = NULL; break; case 4: q[i] = Carry; Carry = NULL; break; case 5: Carry = combineTree(T1, Carry); q[i] = NULL; break; case 6: Carry = combineTree(Carry, T2); Q.q[i] = NULL; break; case 7: q[i] = Carry; Carry = combineTree(T1, T2); Q.q[i] = NULL; break; default: break; } } return *this; } int Bqueue::size()const{ return Size; } void Bqueue::push(const Element &e){ Btree T = new BtreeNode,T1; T->data = e; Size += 1; for (int i = 0,j=1; j <= Size&&T; i++,j*=2){ T1 = q[i]; switch (!!T*2+!!T1){ case 2: q[i] = T; T = NULL; break; case 3: q[i] = NULL; T=combineTree(T, T1); break; default: break; } } } void Bqueue::pop(){ int i, j, Mintree=0; Btree DeletedTree, Oldroot; while (q[Mintree]==NULL) { Mintree++; } for (i = Mintree+1, j = 1<<i; j <= Size; j *= 2,i++) if (q[i]) Mintree = q[Mintree]->data<q[i]->data?Mintree:i; Oldroot = DeletedTree = q[Mintree]; DeletedTree = DeletedTree->child; Oldroot->child = NULL; delete Oldroot; Bqueue DeleteQueue((1 << Mintree) - 1); for (i = Mintree - 1; i >= 0; i--){ DeleteQueue.q[i] = DeletedTree; DeletedTree = DeletedTree->sibling; DeleteQueue.q[i]->sibling = NULL; } q[Mintree] = NULL; Size -= DeleteQueue.size() + 1; Merge(DeleteQueue); } bool Bqueue::empty()const{ return Size == 0; } const Bqueue:: Element& Bqueue::top()const{ int res=0; while (q[res] == NULL) { res++; } for (int i = res + 1, j = 1 << i; j <= Size; j *= 2, i++) if (q[i]) res = q[res]->data<q[i]->data ? res : i; return q[res]->data; } Bqueue::Btree Bqueue::combineTree(Btree T1,Btree T2)const{ if (T1->data > T2->data) return combineTree(T2, T1); T2->sibling = T1->child; T1->child = T2; return T1; }
最后，我们实际看一下各种实现的效果，我们用合并果子这道经典贪心算法来测试一下。
二叉堆：
STL 的优先队列《vector》
二项队列：
左式堆：
可以看出，简单除暴的二叉堆效率是最高的，左式堆最不给力。。。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Dadio/p/5513874.html
