Coursera机器学习-第五周-Neural Network BackPropagation

单元Cost Function and Backpropagation

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Cost Function
假设有样本m个。$x^{(m)}$表示第m个样本输入，$y^{(m)}$表示第m个样本输出，$L$表示网络的层数，$s_l$表示在$l$层下，神经单元的总个数（不包括偏置bias units），$S_L$表示输出单元的个数
当遇到二分问题时，$S_L=1，y=0 or 1$，
遇到K分类问题时，$S_L=K，y_i=1$
例如遇到5分类问题时，输出并不是$y=1,y=2,...y=5$这类，而是标记成向量形式$[1 0 0 0 0]^T,[0 1 0 0 0]^T.....[0 0 0 0 1]^T$

我们先看Logistic Regression Cost Function:

m表示样本个数，前半部分表示假设与样本之间的误差之和，后半部分是正则项（不包括bias terms）
logistic regression一般用于二分类，所以cost function写成上式，那么神经网络的Cost Function如何写呢？它可是K分类（$K\ge 2$），由上述$J(\theta)$推广，我们可以得到如下：

其实，就是在上述的基础之上，对每个类的输出进行加和，后半部分是对bias项所有参数的平方和(不包括bias terms)

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BackProgagation ALG
从第四周的课程当中，我们已经了解到了向前传播(Forward Propagation),向后传播（BackPropagation）无非是方向相反罢了。
先简述一下BP神经网络，下图是神经网络的示意图：

Layer1，相当于外界的刺激，是刺激的来源并且将刺激传递给神经元，因此把Layer1命名为输入层(Input Layer)。Layer2-Layer3，表示神经元相互之间传递刺激相当于人脑里面，因此命名为隐藏层(Hidden layers)。Layer4，表示神经元经过多层次相互传递后对外界的反应，因此Layer4命名为输出层(Output Layer)。
简单的描述就是，输入层将刺激传递给隐藏层，隐藏层通过神经元之间联系的强度（权重）和传递规则（激活函数）将刺激传到输出层，输出层整理隐藏层处理的后的刺激产生最终结果。若有正确的结果，那么将正确的结果和产生的结果进行比较，得到误差，再逆推对神经网中的链接权重进行反馈修正，从而来完成学习的过程。这就是BP神经网的反馈机制，也正是BP（Back Propagation）名字的来源：运用向后反馈的学习机制，来修正神经网中的权重，最终达到输出正确结果的目的！
那么，算法是如何实现的呢？如何向后传播呢？
在BackPropagation中，定义了一个：

表示l层节点j的残差，残差是指实际观察值与估计值（拟合值）之间的差。
那么$\delta_j^{(l)}$是如何得到的呢？
由上面提到的定义：残差是指实际观察值与估计值（拟合值）之间的差，那么对于Layer4而言$\delta_j^{(4)}=a_j^{(4)}-y_j$，其中$a_j^{(4)}$表示拟合值，$y_j$表示实际观察值，要得到$a_j^{(4)}$，我们需要通过Forward Propagation：

对于$\delta_j^{(3)}, \delta_j^{(2)}$:

由此，我们得到计算$\delta$的方式，下面来看BP算法的伪代码：

ps：最后一步之所以写+=而非直接赋值是把Δ看做了一个矩阵，每次在相应位置上做修改。

从后向前此计算每层依的δ，用Δ表示全局误差，每一层都对应一个Δ(l)。再引入D作为cost function对参数的求导结果。下图左边j是否等于0影响的是否有最后的bias regularization项。左边是定义，右边可证明（比较繁琐）。

Backpropagation in Practice

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Backpropagation intuition
1.向前传播 Forward propagation，得到每个权重$\theta$,若有疑惑可参考第四周课程

PS：bias units 并不算在内。所以1,2,3层的神经元个数为2，而不是3
2.简化神经网络的代价函数（去除正则项，即$\lambda=0$）

我们仅关注一个样本$(x^{(i)}, y^{(i)})$，并且仅针对一个输出单元的神经网络（上例），这样Cost function可以简化为如下的形式：

3.计算误差

$\delta_j^{(l)}$记为l层神经元j的误差
BP算法主要是从输出层反向计算各个节点的误差的，故称之为反向传播算法，对于上例，计算的过程如下图所示：

换句话说, 对于每一层来说，$\delta$分量都等于后面一层所有的$\delta$加权和，其中权值就是参数$\theta$。

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Implementation note: Unrolling parameters
这节主要是讲参数的向量化，以及将其还原

具体不懂可以实践一下。

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Gradient Checking
神经网络中的参数很多，如何检测自己所编写的代码是否正确？
对于下面这个$\theta-J(\theta)$图，取Θ点左右各一点$(\theta+ε),(\theta-ε)$，则有点$\theta$的导数（梯度）近似等于$J(\theta+ε)-J(\theta-ε)/(2ε)$

对于每个参数的求导公式如下图所示

由于在back-propagation算法中我们一直能得到J(Θ)的导数D（derivative），那么就可以将这个近似值与D进行比较，如果这两个结果相近就说明code正确，否则错误，如下图所示：

实现时的注意点：

1. 首先实现反向传播算法来计算梯度向量DVec；
2. 其次实现梯度的近似gradApprox;
3. 确保以上两步计算的值是近似相等的；
4. 在实际的神经网络学习时使用反向传播算法，并且关掉梯度检查。

特别重要的是：
一定要确保在训练分类器时关闭梯度检查的代码。如果你在梯度下降的每轮迭代中都运行数值化的梯度计算，你的程序将会非常慢。

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Random initialization

如何初始化参数向量or矩阵。通常情况下，我们会将参数全部初始化为0，这对于很多问题是足够的，但是对于神经网络算法，会存在一些问题，以下将会详细的介绍。

对于梯度下降和其他优化算法，对于参数 $\theta$向量的初始化是必不可少的。能不能将初始化的参数全部设置为0：

看下图，如果将参数全设置为0


会导致一个问题，例如对于上面的神经网络的例子，如果将参数全部初始化为0，在每轮参数更新的时候，与输入单元相关的两个隐藏单元的结果将是相同的，

$a_1^{(2)}=a_2^{(2)}$
因此，我们需要随机初始化：

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Putting it together

首先需要确定一个神经网络的结构-神经元的连接模式, 包括：
输入单元的个数：特征$x^{(i)}$的维数；
输出单元的格式：类的个数
隐藏层的设计：比较合适的是1个隐藏层，如果隐藏层数大于1，确保每个隐藏层的单元个数相同，通常情况下隐藏层单元的个数越多越好。

在确定好神经网络的结构后，我们按如下的步骤训练神经网络：

1. 随机初始化权重参数；

2. 实现：对于每一个 $x^{(i)}$ 通过前向传播得到 $h_\theta{(x^{(i)})}$ ;

3. 实现：计算代价函数 $J(\theta)$；

4. 实现：反向传播算法用于计算偏导数 $\frac{\vartheta}{\vartheta\Theta^{(l)}_{jk}}J(\Theta)$

5. 使用梯度检查来比较反向传播算法计算的 $\frac{\vartheta}{\vartheta\Theta^{(l)}_{jk}}J(\Theta)$ 和数值估计的 $J(\theta)$的梯度，如果没有问题，在实际训练时关闭这部分代码；

6. 在反向传播的基础上使用梯度下降或其他优化算法来最小化$J(\theta)$ ;

参考：http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7758797
http://52opencourse.com/174
http://blog.sina.com.cn/s/blog_88f0497e0102v79c.html