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网格弹簧质点系统模拟(Spring-Mass System by Fast Method)

时间:2016-05-24 10:23:49      阅读:207      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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  弹簧质点模型的求解方法包括显式欧拉积分和隐式欧拉积分等方法,其中显式欧拉积分求解快速,但积分步长小,两个可视帧之间需要多次积分,而隐式欧拉积分则需要求解线性方程组,但其稳定性好,能够取较大的积分步长。[Liu et al. 2007]文章提出了一种弹簧质点模型的求解方法,它将隐式欧拉积分方法转变为求解最优化问题,并采用迭代分步优化的方法来达到最优解。相比隐式欧拉积分,该方法计算快速,并且精度在可接受范围内。

  弹簧质点模型的隐式表达方式如下:

技术分享(1)

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其中:qnvn分别代表tn时刻质点的位置和速度,f(qn)为tn时刻质点所受到的力,M为质点的质量,h为步长。

  利用式(1)我们可以得到:

技术分享(3)

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  将式(3)减式(4)并与式(2)结合得到:

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  记x = qn+1y = 2qnqn-1,式(5)可以变化为:

技术分享(6)

  式(6)的解其实对应于如下函数的临界点:

技术分享(7)

  于是弹簧质点模型问题可以变化为最优化问题minx g(x),即最小化函数g(x)。

  函数E(x)中最重要的部分是弹簧势能,根据Hooke定律,可以推导得到两个质点间弹簧的势能为:

技术分享(8)

其中:k为弹簧的弹性系数,r为弹簧的自然长度。

  因此弹簧质点模型中弹簧的整体势能也可以变化为最优化问题,即最小化如下函数:

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其中:L = A·K·ATJ = A·K,式中A∈Rs×m(s为弹簧数量,m为质点数量),并且Ai,i1=1,Ai,i2= -1,K∈Rm×m为对角矩阵,Ki,i = ki

  如果考虑其他外力(如重力等),那么函数E(x)的表达式为:

技术分享(10)

其中:技术分享是所有弹簧为自然长度时的方向。

  将函数E(x)的表达式(10)代入式(7),整理后得到最终的优化表达式:

技术分享(11)

  对于上述优化问题,可以分两步进行,将前一时刻的质点位置作为初始值x,首先固定x优化d,然后固定d优化x,然后重复上述迭代步骤直到满足设定的迭代步数。

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本文为原创,转载请注明出处:http://www.cnblogs.com/shushen

 

 

相关: 

弹簧质点系统(Euler Integration):http://www.cnblogs.com/shushen/p/5473264.html

弹簧质点系统(Verlet Integration):http://www.cnblogs.com/shushen/p/5394431.html

参考文献:

[1] Tiantian Liu, Adam W. Bargteil, James F. O‘Brien, and Ladislav Kavan. 2013. Fast simulation of mass-spring systems. ACM Trans. Graph. 32, 6, Article 214 (November 2013), 7 pages.

网格弹簧质点系统模拟(Spring-Mass System by Fast Method)

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