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　　一个有N个整数元素的一维数组A[0]，A[1]，......，A[n-1]，这个数组当然有很多子数组，那么子数组的最大值是什么呢？

分析与解法

　　我们先明确题意：

　　1. 题目说的子数组，是连续的；

　　2. 题目只需要求和，并不需要返回子数组的具体位置；

　　3. 数组中的元素是整数，所以数组可能包含有正整数、零、负整数；

　　4. 子数组不为空。

解法一：枚举

　　最简单的办法就是枚举所有的i和j，计算sum[i..j] = A[i]+A[i+1]+...+A[j]，遍历所有可能的sum[i..j]，找到最大值，时间复杂度为O(N³)。

　　注意到sum[i..j] = sum[i..j-1]+A[j]，则可以改进求和，使得时间复杂度为O(N²)。

解法二：分治

　　给定数组A[0]，A[1]，......，A[n-1]的最大子段和，分为三种情况：

　　(1) 与左半部分，即A[0]，A[1]，......，A[n/2-1]的最大子段和相同；

　　(2) 与右半部分，即A[n/2]，......，A[n-1]的最大子段和相同；

　　(3) 跨过中间两个元素A[n/2-1]和A[n/2]。

　　前两种情况是与原问题相同的规模较小的问题，可以递归求解，第三种情况可以遍历一遍数组即可求得，时间复杂度为O(NlogN)。

解法三：动规

　　用变量sum表示以arr[i]结尾的子数组的最大和，则所求最大和ret = max{sum}

　　根据如下递推关系，只需要遍历一遍数组即可：

　　sum = max{arr[i], arr[i]+sum}

　　ret = max{ret, sum}

　　参考代码如下所示：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std; 
 3 
 4 const int maxn = 1007; 
 5 int arr[maxn]; 
 6 
 7 int maxSum(int arr[], int n)
 8 {
 9     int ret = arr[0], sum = arr[0]; 
10     for (int i = 1; i < n; i++)
11     {
12         sum = (sum > 0) ? (sum + arr[i]) : arr[i]; 
13         ret = (ret > sum) ? ret : sum; 
14     }
15     return ret; 
16 }
17 
18 int main(int argc, char *argv[])
19 {
20     int n; 
21     while (cin >> n)
22     {
23         for (int i = 0; i < n; i++)
24         {
25             cin >> arr[i]; 
26         }
27         int maxsum = maxSum(arr, n); 
28         cout << maxsum << endl;
29     }
30 }

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扩展问题

1. 如果数组是首尾相邻的，也就是我们允许找到一段数字A[i]，...，A[n-1]，A[0]，...，A[j]，请使其和最大，怎么办？

　　解答：可以分为两种情况：

　　(1) 解没有跨过A[n-1]到A[0](原问题)；

　　(2) 解跨过A[n-1]到A[0]。

　　第二种情况又有两种情况，即包含整个数组和不包含整个数组，遍历数组即可求解。

　　当然，对于不包含整数数组的情况，相当于从数组中删除A[j+1]...A[i-]，这部分的和一定是负的，且是可能找到的子数组的和为负数且绝对值最大的。寻找这样的子数组的问题跟情形(1)是一样的，可以用同样的方法解决。

　　最后，取两种情况的最大值即可。

2. 如果题目要求同时返回最大子数组的位置，算法应如何变？还能保持O(N)的时间复杂度么？

【编程之美】求数组的子数组之和的最大值

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原文地址：http://www.cnblogs.com/xiaoxxmu/p/5528995.html