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根据性质，图可以分为无向图和有向图。本文先介绍无向图，后文再介绍有向图。 之所以要研究图，是因为图在生活中应用比较广泛：
图是若干个顶点(Vertices)和边(Edges)相互连接组成的。边仅由两个顶点连接，并且没有方向的图称为无向图。 在研究图之前，有一些定义需要明确，下图中表示了图的一些基本属性的含义，这里就不多说明。
在研究图之前，我们需要选用适当的数据结构来表示图，有时候，我们常被我们的直觉欺骗,如下图，这两个其实是一样的，这其实也是一个研究问题，就是如何判断图的形态。
要用计算机处理图，我们可以抽象出以下的表示图的API： 
Graph的API的实现可以由多种不同的数据结构来表示，最基本的是维护一系列边的集合，
如下：还可以使用邻接矩阵来表示：
也可以使用邻接列表来表示：
由于采用如上方式具有比较好的灵活性，采用邻接列表来表示的话，可以定义如下数据结构来表示一个Graph对象。
View Code 图也分为稀疏图和稠密图两种，如下图：在这两个图中，顶点个数均为50，但是稀疏图中只有200个边，稠密图中有1000个边。在现实生活中，大部分都是稀疏图，即顶点很多，但是顶点的平均度比较小。 
采用以上三种表示方式的效率如下：
在讨论完图的表示之后，我们来看下在图中比较重要的一种算法，即深度优先算法：
在谈论深度优先算法之前，我们可以先看看迷宫探索问题。下面是一个迷宫和图之间的对应关系： 迷宫中的每一个交会点代表图中的一个顶点，每一条通道对应一个边。
迷宫探索可以采用Trémaux绳索探索法。即：
图示如下：
下面是迷宫探索的一个小动画：
深度优先搜索算法模拟迷宫探索。在实际的图处理算法中，我们通常将图的表示和图的处理逻辑分开来。所以算法的整体设计模式如下：
下面是深度优先的基本代码，我们可以看到，递归调用dfs方法，在调用之前判断该节点是否已经被访问过。
public class DepthFirstSearch { private bool[] marked;//记录顶点是否被标记 private int count;//记录查找次数 private DepthFirstSearch(Graph g, int v) { marked = new bool[g.GetVerticals()]; dfs(g, v); } private void dfs(Graph g, int v) { marked[v] = true; count++; foreach (int vertical in g.GetAdjacency(v)) { if (!marked[vertical]) dfs(g,vertical); } } public bool IsMarked(int vertical) { return marked[vertical]; } public int Count() { return count; } }
试验一个算法最简单的办法是找一个简单的例子来实现。
有了这个基础，我们可以实现基于深度优先的路径查询，要实现路径查询，我们必须定义一个变量来记录所探索到的路径。 所以在上面的基础上定义一个edgesTo变量来后向记录所有到s的顶点的记录，和仅记录从当前节点到起始节点不同，我们记录图中的每一个节点到开始节点的路径。为了完成这一日任务，通过设置edgesTo[w]=v，我们记录从v到w的边，换句话说，v-w是做后一条从s到达w的边。 edgesTo[]其实是一个指向其父节点的树。
public class DepthFirstPaths { private bool[] marked;//记录是否被dfs访问过 private int[] edgesTo;//记录最后一个到当前节点的顶点 private int s;//搜索的起始点 public DepthFirstPaths(Graph g, int s) { marked = new bool[g.GetVerticals()]; edgesTo = new int[g.GetVerticals()]; this.s = s; dfs(g, s); } private void dfs(Graph g, int v) { marked[v] = true; foreach (int w in g.GetAdjacency(v)) { if (!marked[w]) { edgesTo[w] = v; dfs(g,w); } } } public bool HasPathTo(int v) { return marked[v]; } public Stack<int> PathTo(int v) { if (!HasPathTo(v)) return null; Stack<int> path = new Stack<int>(); for (int x = v; x!=s; x=edgesTo[x]) { path.Push(x); } path.Push(s); return path; } }
上图中是黑色线条表示深度优先搜索中，所有定点到原点0的路径， 他是通过edgeTo[]这个变量记录的，可以从右边可以看出，他其实是一颗树，树根即是原点，每个子节点到树根的路径即是从原点到该子节点的路径。 下图是深度优先搜索算法的一个简单例子的追踪。
通常我们更关注的是一类单源最短路径的问题，那就是给定一个图和一个源S，是否存在一条从s到给定定点v的路径，如果存在，找出最短的那条(这里最 短定义为边的条数最小) 深度优先算法是将未被访问的节点放到一个堆中(stack)，虽然在上面的代码中没有明确在代码中写stack，但是 递归 间接的利用递归堆实现了这一原理。 和深度优先算法不同， 广度优先是将所有未被访问的节点放到了队列中。其主要原理是：
广度优先是以距离递增的方式来搜索路径的。
class BreadthFirstSearch { private bool[] marked; private int[] edgeTo; private int sourceVetical;//Source vertical public BreadthFirstSearch(Graph g, int s) { marked=new bool[g.GetVerticals()]; edgeTo=new int[g.GetVerticals()]; this.sourceVetical = s; bfs(g, s); } private void bfs(Graph g, int s) { Queue<int> queue = new Queue<int>(); marked[s] = true; queue.Enqueue(s); while (queue.Count()!=0) { int v = queue.Dequeue(); foreach (int w in g.GetAdjacency(v)) { if (!marked[w]) { edgeTo[w] = v; marked[w] = true; queue.Enqueue(w); } } } } public bool HasPathTo(int v) { return marked[v]; } public Stack<int> PathTo(int v) { if (!HasPathTo(v)) return null; Stack<int> path = new Stack<int>(); for (int x = v; x!=sourceVetical; x=edgeTo[x]) { path.Push(x); } path.Push(sourceVetical); return path; } }
广度优先算法的搜索步骤如下：
广度优先搜索首先是在距离起始点为1的范围内的所有邻接点中查找有没有到达目标结点的对象，如果没有，继续前进在距离起始点为2的范围内查找，依次向前推进。
本文简要介绍了无向图中的深度优先和广度优先算法，这两种算法时图处理算法中的最基础算法，也是后续更复杂算法的基础。其中图的表示，图算法与表示 的分离这种思想在后续的算法介绍中会一直沿用，下文将讲解无向图中深度优先和广度优先的应用，以及利用这两种基本算法解决实际问题的应用。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/wxgblogs/p/5572391.html
