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上一篇介绍了有关图的表示和遍历实现.数据结构 -- 简单图的实现与遍历 (Java)现在就来看看关于求图的最短路径的问题:
注意:本人学习图的时候看的书是:
<<数据结构与算法 Java语言版>> (美)Adam Drozdek/著 周翔/译 机械工业出版社出版
由于要仔细讲解内容过多并且本人水平有限,推荐大家找出这本书来看,本篇文章主要是对其中Dijkstra 算法,Ford 算法 ,通用型的纠正标记算法这三个伪代码的实现.开始页数为P284.
首先来看一下 Dijkstra 算法,它不能够处理权值为负的图.本算法的主要步骤:
1.找出距离起始顶点距离最短的顶点,这里设为顶点nowVertice.
2.遍历所有与顶点nowVertice相邻的顶点nextVertice.如果发现选择nowVertice到达nextVertice的路径后,nextVertice距离起始顶点的距离比当前的距离小.便更新新的距离.如下:
if(currDist[nextVertice] > currDist[nowVertice] + weight) { //weight为从nowVertice到nextVertice说需要的权重 currDist[nextVertice] = currDist[nowVertice] + weight; }
currDist是一个全局数组,currDist[i]意思就是当前起始顶点到顶点i的距离.
3.将nowVertice从图中删除.
4.重复步骤1,直到所有的顶点都被删除完.
补充,在实现的时候,上面说的删除并不是真的直接从图中把某一顶点删除,这里会使用一个集合来存储所有的顶点,对该集合中的顶点进行删除动作,集合如下.
List<Integer> toBeChecked = new LinkedList<>();
和上一篇一样,这里使用一个名为Graph的类来封装查找最短路径的相关内容:
/** * 使用邻接矩阵实现图<p> * 深度优先遍历与广度优先遍历<p> * 求最短路径:<p> * 1. Dijkstra 算法 <p> * 2. Ford 算法 <p> * 3. 通用型的纠正标记算法<p> * Created by Henvealf on 16-5-22. */ public class Graph<T> { private int[][] racs; //邻接矩阵 private T[] verticeInfo; //各个点所携带的信息. private int verticeNum; //顶点的数目, private int[] visitedCount; //记录访问 private int[] currDist; //最短路径算法中用来记录每个顶点距离起始顶点路径的长度. public Graph(int[][] racs, T[] verticeInfo){ if(racs.length != racs[0].length){ throw new IllegalArgumentException("racs is not a adjacency matrix!"); } if(racs.length != verticeInfo.length ){ throw new IllegalArgumentException ("Argument of 2 verticeInfo‘s length is error!"); } this.racs = racs; this.verticeInfo = verticeInfo; verticeNum = racs.length; visitedCount = new int[verticeNum]; } //.......... }
这里是使用的邻接矩阵来表示图,想要使用其他表示方法,自行稍微修改一下便可.下面是实现方法的代码:
1 /** 2 * 使用 Dijkstra算法寻找最短路径 3 * @param first 路径开始的顶点 4 * @return 返回最后的最短路径 5 */ 6 public int[] dijkstraAlgorithm(int first){ 7 if(first < 0 || first >= verticeNum ){ 8 throw new IndexOutOfBoundsException ("should between 0 ~ " + (verticeNum -1)); 9 } 10 setNumberAsInfinitie(); 11 currDist[first] = 0; 12 List<Integer> toBeChecked = new LinkedList<>(); 13 for(int i = 0; i < verticeNum; i ++){ 14 toBeChecked.add(i); 15 } 16 while(!toBeChecked.isEmpty()){ 17 int nowVertice = findMinCurrDistVerticeAndRemoveFormList(toBeChecked); 18 for(int i = 0; i < verticeNum; i ++){ 19 int nextVertice = -1; //邻接节点 20 int weight = Integer.MAX_VALUE; //到达邻接节点的权重 21 if(racs[nowVertice][i] != Integer.MAX_VALUE){ //得到邻接顶点 22 if(toBeChecked.contains(i)){ 23 nextVertice = i; 24 weight = racs[nowVertice][i]; 25 } 26 } 27 if(nextVertice == -1) {continue;} 28 if(currDist[nextVertice] > currDist[nowVertice] + weight){ 29 currDist[nextVertice] = currDist[nowVertice] + weight; 30 } 31 } 32 33 } 34 for(int i = 0; i < currDist.length; i++){ 35 System.out.println("现在顶点 " + verticeInfo[i].toString() + " 距离顶点 " + verticeInfo[first].toString() + " 的最短距离为 " + currDist[i]); 36 } 37 return currDist; 38 } 39 /** 40 * 将currDist数组初始化为无穷大 41 */ 42 private void setNumberAsInfinitie(){ 43 currDist = new int[verticeNum]; 44 for (int i = 0; i < verticeNum; i++){ 45 currDist[i] = Integer.MAX_VALUE; 46 } 47 } 48 49 /** 50 * 寻找出当前距离起始顶点路径最短的顶点,并将其从toBeCheck中删除 51 * @param list 52 * @return 53 */ 54 private int findMinCurrDistVerticeAndRemoveFormList(List<Integer> list){ 55 int num = list.get(0); 56 int dist = currDist[list.get(0)]; 57 int listIndex = 0; 58 for(int i = 1; i < list.size(); i ++){ 59 int index = list.get(i); 60 if(currDist[index] < dist) { 61 dist = currDist[index]; 62 num = index; 63 listIndex = i; 64 } 65 } 66 list.remove(listIndex); 67 return num; 68 }
上面提到Dijkstra算法不能处理有负权值的情况,所以自然就有替代方法:Ford方法.
Ford算法并不会像Dijkstra算法一样去删除顶点,他时按照一定的顺序,来对每个边进行遍历并更新设置最短距离.
比如有一个异常简单的图:
a-->b-->c-->d
Ford算法要求我们指定边的遍历顺序,让每条边都能够被走过一次.比如这里我选择的顺序为:b-->c, a-->b, c-->d.
算法就会根据指定的该顺序,把图中所有的边都访问一次,每访问完一遍就是一次迭代.在访问过程中,和Dijkstra算法相似,回进行如下判断和更新.
if(currDist[now] > currDist[next] + weight){ currDist[next] = currDist[now] + racs[now][next]; }
然后直到在最后一次迭代中,发现所有的边都不符合上面的判断,算法就结束.
实现代码如下:
1 /** 2 * 使用Ford的方法寻找最短路径 3 * @param first 路径开始的顶点 4 */ 5 public int[] fordAlgorithm(int first){ 6 if(first < 0 || first >= verticeNum ){ 7 throw new IndexOutOfBoundsException ("should between 0 ~ " + (verticeNum -1)); 8 } 9 setNumberAsInfinitie(); 10 currDist[first] = 0; 11 while(true){ 12 boolean hasLessEdge = false; //是否有使currDist更小的边 13 for(int s = 0 ; s < verticeNum; s ++){ 14 for (int e = 0; e < verticeNum; e ++){ 15 if(racs[s][e] != Integer.MAX_VALUE){ 16 int weight = getWeightPreventOverflow(s,e); 17 if(currDist[e] > currDist[s] + weight){ 18 hasLessEdge = true; 19 currDist[e] = currDist[s] + racs[s][e]; 20 } 21 } 22 } 23 } 24 if(!hasLessEdge) { break; } 25 } 26 for(int i = 0; i < currDist.length; i++){ 27 System.out.println("现在顶点 " + verticeInfo[i].toString() + " 距离顶点 " + verticeInfo[first].toString() + " 的最短距离为 " + currDist[i]); 28 } 29 30 return currDist; 31 } 32 33 /** 34 * 处理并获得权重,并且使得到的结果在进行路径长度的加减操作时不会出现溢出 35 * @param start 36 * @param end 37 * @return 38 */ 39 private int getWeightPreventOverflow(int start, int end){ 40 int weight = 0; 41 //防止加减法溢出 42 if(currDist[start] == Integer.MAX_VALUE && racs[start][end] > 0){ 43 weight = 0; 44 }else if(currDist[start] == Integer.MIN_VALUE && racs[start][end] < 0){ 45 weight = 0; 46 }else{ 47 weight = racs[start][end]; 48 } 49 return weight; 50 }
未完待续...
by 自安/henvealf
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