某公司加工一种由铁、铝、锡组成的合金。他们的工作很简单。首先进口一些铁铝锡合金原材料，不同种类的
原材料中铁铝锡的比重不同。然后，将每种原材料取出一定量，经过融解、混合，得到新的合金。新的合金的铁铝
锡比重为用户所需要的比重。 现在，用户给出了n种他们需要的合金，以及每种合金中铁铝锡的比重。公司希望能
够订购最少种类的原材料，并且使用这些原材料可以加工出用户需要的所有种类的合金。
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http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1027
共三种金属,\(m\)种材料,给出每种材料中三种金属的占比.
给出\(n\)种合金的三种金属占比.用材料做合金,问最少需要多少种材料.
首先,由于三种金属的占比相加为1,所以确定了前两项,最后一项也就确定了,我们可以用二唯坐标\((x,y)\)表示前两项,这样每种材料和合金就是二维平面上的一个点.
接下来是用材料做合金.
首先来考虑用两种材料做合金,两种材料为\((x1,y1)和(x2,y2)\).那么做成的合金就是\((kx1+(1-k)x2,ky1+(1-k)y2) ,0\leq{k}\leq1\).
记两种材料为两个向量\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\),那么合金就是$$k\overrightarrow{a}+(1-k)\overrightarrow{b}$$
等于$$k\overrightarrow{a}+(1-k)\overrightarrow{a}+(1-k)(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$$
也就是说合金的点在两个材料的点所连的线段上.
那么对于多个材料,我们把几个材料的点首尾相连,形成一个凸多边形,多边形内部的任意一点可以认为是在(多边形的两条边上的点所连的线段上),我们把那两个点做出来当作材料,就可以做出来多边形内部的点了.而多边形外部的点不在可做成的两点所连的线段上.
如果连成的是凹多边形呢?可以去掉一些材料变成材料种类更少的凸多边形.
所以就要把所有合金放在材料围成的多边形内部(或边上).我们把所有点都在同一侧的线段连一条长度为1的边,然后问题就转化为了求最小环,用Floyd即可.
注意:特殊情况,即所有合金都与一个材料重合,此时答案是1.其他情况全部可以一般化.
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 const int maxn=500+5; 5 const double eps=1e-10,INF=1<<27; 6 int n,m; 7 int d[maxn][maxn]; 8 inline int dcmp(double x){ 9 if(fabs(x)<eps) return 0; 10 return x>0?1:-1; 11 } 12 struct pt{ 13 double x,y; 14 pt(double x=0,double y=0):x(x),y(y){} 15 pt operator - (const pt &a) const { return pt(x-a.x,y-a.y); } 16 double operator * (const pt &a) const { return x*a.y-y*a.x; } 17 double operator ^ (const pt &a) const { return x*a.x+y*a.y; } 18 bool operator != (const pt &a) const { return (dcmp(a.x-x)||dcmp(a.y-y)); } 19 }a[maxn],b[maxn]; 20 inline bool spj(){ 21 for(int i=1;i<=m;i++){ 22 bool flag=true; 23 for(int j=1;j<=n;j++)if(a[i]!=b[j]){ 24 flag=false; 25 break; 26 } 27 if(flag) return true; 28 } 29 return false; 30 } 31 inline bool J(pt p1,pt p2){ 32 for(int i=1;i<=n;i++)if(dcmp((b[i]-p1)^(b[i]-p2))>0) return false; 33 return true; 34 } 35 inline int C(pt p1,pt p2){ 36 int l=0,r=0; 37 for(int i=1;i<=n;i++){ 38 double t=(p2-p1)*(b[i]-p1); 39 if(dcmp(t)>0) l++; 40 else if(dcmp(t)<0) r++; 41 if(l&&r) return 0; 42 } 43 if(!l&&!r&&J(p1,p2)) return 3; 44 if(l) return 1; 45 if(r) return 2; 46 return 0; 47 } 48 inline void floyd(){ 49 for(int k=1;k<=m;k++)for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;j<=m;j++) 50 d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]); 51 int ans=INF; 52 for(int i=1;i<=m;i++) ans=min(ans,d[i][i]); 53 if(ans==INF){ puts("-1"); return; } 54 printf("%d\n",ans); 55 } 56 inline void solve(){ 57 if(spj()){ puts("1"); return; } 58 for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=i+1;j<=m;j++){ 59 int flag=C(a[i],a[j]); 60 if(flag==1) d[i][j]=1; 61 else if(flag==2) d[j][i]=1; 62 else if(flag==3) d[i][j]=d[j][i]=1; 63 } 64 floyd(); 65 } 66 inline void init(){ 67 scanf("%d%d",&m,&n); double t; 68 for(int i=0;i<maxn;i++)for(int j=0;j<maxn;j++) d[i][j]=INF; 69 for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lf%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y,&t); 70 for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&b[i].x,&b[i].y,&t); 71 } 72 int main(){ 73 init(); 74 solve(); 75 return 0; 76 }
某公司加工一种由铁、铝、锡组成的合金。他们的工作很简单。首先进口一些铁铝锡合金原材料，不同种类的
原材料中铁铝锡的比重不同。然后，将每种原材料取出一定量，经过融解、混合，得到新的合金。新的合金的铁铝
锡比重为用户所需要的比重。 现在，用户给出了n种他们需要的合金，以及每种合金中铁铝锡的比重。公司希望能
够订购最少种类的原材料，并且使用这些原材料可以加工出用户需要的所有种类的合金。
第一行两个整数m和n（m, n ≤ 500），分别表示原材料种数和用户需要的合金种数。第2到m + 1行，每行三
个实数a, b, c（a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1），分别表示铁铝锡在一种原材料中所占的比重。第m + 2到m +
n + 1行，每行三个实数a, b, c（a, b, c ≥ 0 且 a + b + c = 1），分别表示铁铝锡在一种用户需要的合金中
所占的比重。
一个整数，表示最少需要的原材料种数。若无解，则输出–1。
BZOJ_1027_[JSOI2007]_合金_(计算几何+Floyd求最小环)
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原文地址：http://www.cnblogs.com/Sunnie69/p/5644462.html
