RMQ问题——ST算法

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1. 什么是RMQ、ST：RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题，即求区间的最值。可以写一个线段树来实现，但是每次查询的时间复杂度为O(log n)，若查询次数过多则可能超时。ST算法是一种离线算法，经过O(nlogn)的预处理后，可以在O(1)的时间复杂度内进行查询，缺点是无法对数据做出修改。
2. 算法实现：

    

   初始化：用dp实现初始化。a[]为原始数据数组f，[i][j]表示从i向后的2^j个数字中的最值。显然f[i][0]=a[i];

   我们将f[i][j]分为两段，一段为a[i]~a[2j-1]的最值即f[i][j-1]，一段为a[i+2j-1]~a[i+2j]即f[i+1<<(j-1)][j-1]；这样就得到了状态转移方程f[i][j]=max/min(f[i][j-1],f[i+1<<(j-1)][j-1]);。

    dp数组即f数组；

    1         for(i=1;i<=n;i++){
    2             dpmax[i][0]=a[i];
    3             dpmin[i][0]=a[i];//初始化
    4         };
    5         int end_j=log(n+0.0)/log(2.0);//计算j的最大值
    6         int endi;
    7         for(j=1;j<=end_j;j++){//注意，由于每一个dp[i,j]的求解都要用到dp[i,j-1]故j应放在外层循环
    8             endi=n+1-(1<<j);//计算i的最大值
    9             for(i=1;i<=endi;i++){
   10                 dpmax[i][j]=max(dpmax[i][j-1],dpmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
   11                 dpmin[i][j]=min(dpmin[i][j-1],dpmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);//dp预处理
   12             }
   13         }

    

   查询：得到f数组之后，若要查询[l,r]的最值，则将区间分成两段，l~log2r与r-log2r~r，则两段的最值中较大(小)的即为答案。

    

   1         for(i=1;i<=m;i++){
   2             scanf("%d%d",&l,&r);
   3             k=log(r-l+1.0)/log(2.0);//计算分割点
   4             printf("%d\n",max(dpmax[l][k],dpmax[r-(1<<k)+1][k])//分两段查询
   5                     -min(dpmin[l][k],dpmin[r-(1<<k)+1][k]));
   6         }

    

3. 例题：POJ3264

   题目大意：给出一串的数字，然后给出一个区间a b，输出从a到b的最大的数和最小的数的差。

    1 #include<iostream>
    2 #include<cmath>
    3 #include<cstring>
    4 #include<cstdio>
    5 using namespace std;
    6 
    7 int a[100000],dpmax[50000][100],dpmin[50000][100];
    8 
    9 int main(){
   10     std::ios::sync_with_stdio(false);
   11     int i,j,m,n,k,t,l,r;
   12     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
   13         for(i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
   14         for(i=1;i<=n;i++){
   15             dpmax[i][0]=a[i];
   16             dpmin[i][0]=a[i];//初始化
   17         };
   18         int end_j=log(n+0.0)/log(2.0);//计算j的最大值
   19         int endi;
   20         for(j=1;j<=end_j;j++){//注意，由于每一个dp[i,j]的求解都要用到dp[i,j-1]故j应放在外层循环
   21             endi=n+1-(1<<j);//计算i的最大值
   22             for(i=1;i<=endi;i++){
   23                 dpmax[i][j]=max(dpmax[i][j-1],dpmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
   24                 dpmin[i][j]=min(dpmin[i][j-1],dpmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);//dp预处理
   25             }
   26         }
   27         for(i=1;i<=m;i++){
   28             scanf("%d%d",&l,&r);
   29             k=log(r-l+1.0)/log(2.0);//计算分割点
   30             printf("%d\n",max(dpmax[l][k],dpmax[r-(1<<k)+1][k])//分两段查询
   31                     -min(dpmin[l][k],dpmin[r-(1<<k)+1][k]));
   32         }
   33         return 0;
   34     }
   35 }

    

    

    

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原文地址：http://www.cnblogs.com/y-m-y/p/5719813.html