BSGS算法学习小记（大步小步算法）

简介

先看一个式子$x^y≡z(\mod p)，z是质数$
现在只知道x和z，要求y。
大步小步算法（BSGS，Baby Steps Giant Steps）就是解决这个问题。

算法流程

暴搜的枚举范围

根据费马小定理：$x^{z-1}≡1$。
如果y已经枚举到了z-1了，继续枚举的话就会产生循环。
所以，在暴搜中y的枚举范围就是0……z-1。

如何优化暴搜

我们想一想可不可以用分块来解决枚举的y。
把y分成$\sqrt {p-1}$分别枚举行不行？
设m=$\sqrt{p-1}$，$y=a*m+b$，这样枚举a和b就相当于分块枚举了。
那么现在就变成了$x^{a*m+b}≡z(\mod p)$
把a和b分别放在两边：$x^b≡x^{-a*m}z(\mod p)$
我们可以发现左边的$x^b$最多只有m个，完全可以预处理出来放进hash里面。

 ll m=ceil(sqrt(p-1));
    ll ni=qsm(x,m);ni=qsm(ni,p-2);//因为右边的指数是复数，所以需要逆元
    a.clear();
    a[1]=m+1;
    fo(j,1,m-1){
        k=k*x%p;
        if(!a[k])a[k]=j;
    }   

然后枚举右边的a就好了。

fo(i,0,m-1){
        ll u=a[y];
        if(u){
            if(u==m+1)printf("%lld\n",i*m);
            else printf("%lld\n",i*m+u);
            return;
        }
        y=y*ni%p;    
    }
    printf("Orz, I cannot find x!\n");

这就是$O(\sqrt p)$的用空间换取时间的大步小步算法。
很优美的暴搜。

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由于本人是个蒟蒻

对于BSGS算法知道的，也只有这么多了。