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今天花了很长时间终于弄懂了这个算法……毕竟找一个好的讲解真的太难了，所以励志我要自己写一个好的讲解QAQ
这篇文章是在懂了这个问题n^2解决方案的基础上学习。
解决的问题：给定一个序列，求最长不下降子序列的长度（nlogn的算法没法求出具体的序列是什么）
定义：a[1..n]为原始序列，d[k]表示长度为k的不下降子序列末尾元素的最小值，len表示当前已知的最长子序列的长度。
初始化：d[1]=a[1]; len=1; （0个元素的时候特判一下）
现在我们已知最长的不下降子序列长度为1，末尾元素的最小值为a[1]，那么我们让i从2到n循环，依次求出前i个元素的最长不下降子序列的长度，循环的时候我们只需要维护好d这个数组还有len就可以了。
关键问题就是怎么维护？
可以看出我们是要用logn的复杂度维护的。实际上利用了d数组的一个性质：单调性。（长度更长了，d[k]的值是不会减小的）
考虑新进来一个元素a[i]：
如果这个元素大于等于d[len]，直接让d[len+1]=a[i]，然后len++。这个很好理解，当前最长的长度变成了len+1，而且d数组也添加了一个元素。
如果这个元素小于d[len]呢？说明它不能接在最后一个后面了。那我们就看一下它该接在谁后面。
准确的说，并不是接在谁后面。而是替换掉谁。因为它接在前面的谁后面都是没有意义的，再接也超不过最长的len，所以是替换掉别人。那么替换掉谁呢？就是替换掉那个最该被它替换的那个。也就是在d数组中第一个大于它的。第一个意味着前面的都小于等于它。假设第一个大于它的是d[j]，说明d[1..j-1]都小于等于它，那么它完全可以接上d[j-1]然后生成一个长度为j的不下降子序列，而且这个子序列比当前的d[j]这个子序列更有潜力（因为这个数比d[j]小）。所以就替换掉它就行了，也就是d[j]=a[i]。其实这个位置也是它唯一能够替换的位置（前面的替了不满足d[k]最小值的定义，后面替换了不满足不下降序列）
至于第一个大于它的怎么找……STL upper_bound。每次复杂度logn。
至此，我们就神奇的解决了这个问题。按照这个思路，如果需要求严格递增的子序列怎么办？
仍然考虑新进来一个元素a[i]：
如果这个元素大于d[len]，直接让d[len+1]=a[i]，然后len++。这个很好理解，当前最长的长度变成了len+1，而且d数组也添加了一个元素。
如果这个元素小于等于d[len]呢？说明它不能接在最后一个后面了。那我们就看一下它该接在谁后面。
准确的说，并不是接在谁后面。而是替换掉谁。因为它接在前面的谁后面都是没有意义的，再接也超不过最长的len，所以是替换掉别人。那么替换掉谁呢？就是替换掉那个最该被它替换的那个。也就是在d数组中第一个大于等于它的。第一个意味着前面的都小于它。假设第一个大于等于它的是d[j]，说明d[1..j-1]都小于它，那么它完全可以接上d[j-1]然后生成一个长度为j的上升子序列，而且这个子序列比当前的d[j]这个子序列更有潜力（因为这个数比d[j]小）。所以就替换掉它就行了，也就是d[j]=a[i]。其实这个位置也是它唯一能够替换的位置（前面的替了不满足d[k]最小值的定义，后面替换了不满足上升序列）
至于第一个大于等于它的怎么找……STL lower_bound。每次复杂度logn。
下面是最长不下降子序列的代码
//最长不下降子序列nlogn Song #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; int a[40005]; int d[40005]; int main() { int n; scanf("%d",&n); for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); if (n==0) //0个元素特判一下 { printf("0\n"); return 0; } d[1]=a[1]; //初始化 int len=1; for (int i=2;i<=n;i++) { if (a[i]>=d[len]) d[++len]=a[i]; //如果可以接在len后面就接上 else //否则就找一个最该替换的替换掉 { int j=upper_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d; //找到第一个大于它的d的下标 d[j]=a[i]; } } printf("%d\n",len); return 0; }
想了一晚上这个问题终于想通了。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/itlqs/p/5743114.html
