扩展欧几里德算法.....哦，扩欧

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首先推荐两篇比较好的博客

http://blog.csdn.net/lincifer/article/details/49391175

（然后下面便是一个蒟蒻的总结QAQ）

扩展欧几里德算法

基本算法：

　　对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 ax + by = gcd(a, b) = d。

证明：

　　设 a > b。

　　1. 显然当 b = 0，gcd (a，b) = a 时， x = 1，y = 0；

　　2. ab != 0 时

　　原式:  ax + by = gcd(a, b)(假设a ≥ b)

• 当 b = 0 时有 gcd(a, b) = a, 此时 x = 1, y = 0

• 当b不为0时, 根据欧几里得定理 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) 可得 ax + by = gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) = bx′ + (a mod b)y′,

• 即 ax + by = bx′ + (a mod b)y′ = bx′ + (a − b ∗ ⌊a / b⌋)y′  

　　【我们知道 a % b = a - (a / b) * b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5 / 2 = 2 , 1 / 3 = 0）】

• 移项得 ax + by = bx′ + (a mod b)y′ = ay′ + b(x′ − ⌊a / b⌋ y′)

　  根据恒等定理,有 

　　这有什么用呢? x′ 和 y′ 还是不知道呀.

　　重新来看看我们得到的两个等式.

　　x 和 y 是 gcd(a, b) = ax + by 的解,

　　而 x’ 和 y’ 是在对 gcd(a, b) 按欧几里德算法进行一步后的结果对应的贝祖等式 gcd(b, a mod b) = bx′ + (a mod b)y′ 的解。

　　也就是说, gcd(a, b) 对应的贝祖等式的解 x, y 可以由 gcd(b, a mod b) 对应等式的解 x’, y’ 计算得出。

　　更进一步,对于任意不定式 ax′ + by′ = c, 只需要在等式 ax + by = gcd(a, b) = d 两边乘上 c /d 即可得到解为 x′ = x ∗ c / d, y′ = y ∗ c / d

扩欧代码：

 1 int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
 2     if(b == 0) {
 3         x = 1; y = 0;
 4         return a;
 5     }
 6     int ans = exgcd(b, a % b, x, y);
 7     int x1 = x;
 8     x = y;
 9     y = x1 - a / b * y;
10     return ans;
11 }

扩展欧几里德算法.....哦，扩欧

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原文地址：http://www.cnblogs.com/wyj-jenny/p/5775817.html