含有重复字符的字符串全排列算法

虽然排序算法是一个简单的问题，但绝对是笔试面试的基础考点，重重之重。来个排序问题都没回答出来，留给面试官的印象也就那样了。

排序主要分为：

比较排序：快速排序、堆排序、归并排序、插入排序、希尔排序、选择排序、冒泡排序

非比较排序：基数排序、计数排序、桶排序

性能比较点：

时间复杂度：一般而言，好的性能是O(nlgn)，且坏的性能是O(n^2)。对于一个排序理想的性能是O(n)

稳定性：是否能让原本有相等键值的纪录维持相对次序。

 

一、插入排序

《算法导论》的第2章介绍了插入排序及其算法分析。

核心：有序序列+直接插入

描述：维持一个有序区，将无序区的第一个元素直接插入到有序区，形成新的有序序列，最终实现排序。最优、平均、最差时间复杂度为θ(n^2)。

算法步骤为：

1、        从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序

2、        取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描

3、        如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置

4、        重复步骤3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置

5、        将新元素插入到该位置后

6、        重复步骤2~5

上图：


伪代码为：

[cpp] view plain copy
INSERTION-SORT(A)  
for j <- 2 to length[A]  
        do key <- A[j]   
               Insert A[j] into the sorted sequence A[1..j-1]   
               i  <- j-1   
        while i>0 and A[i]>key  
               do A[i+1] <- A[i]   
                       i  <- i-1   
        A[i+1] <- key  


实现：

[cpp] view plain copy
#include<assert.h>  
#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<iterator>  
usingnamespace std;  
voidinsert_sort(int *a,int len){  
    assert(a!=NULL && len>0);  
    int key=0,i=0;  
    for(int pos=1;pos<len;++pos){  
       key = a[pos];  
       i = pos-1;  
       while(i>=0 && a[i]>key){//backward  
           a[i+1]=a[i];  
           i--;  
       }  
       a[i+1] = key;  
    }  
}  
int main(){  
    int seq[]={3,7,8,5,2,1,9,5,4};  
    int length=sizeof(seq)/sizeof(int);  
    copy(seq,seq+length,ostream_iterator<int>(cout,""));  
    cout<<endl;  
    insert_sort(seq,length);  
    copy(seq,seq+length,ostream_iterator<int>(cout,""));  
    cout<<endl;  
    return 0;  
}  


结果：


Eg. 请写出链表的插入排序程序 (copy过来的)

[cpp] view plain copy
template<typenameT>  
structlist_node{  
    struct list_node<T> *next;  
    T value;  
};  
template<typenameT>  
struct _list{  
    struct list_node<T> *head;  
    int size;  
};  
template<typenameT>  
voidSortLink(struct _list<T> * link) {  
    struct list_node<T>*pHead,*pRear,*p,*tp;  
    if (!link) return;  
    for(pHead=link->head,pRear=0;pHead;pHead=pHead->next) {  
        for(tp=pHead,p=pHead->next;p;tp=p,p=p->next)  
            if (pHead->value>=p->value)  
               tp->next=p->next,p->next=pHead,pHead=p,p=tp;  
        if (!pRear) link->head=pHead;  
        else pRear->next=pHead;  
        pRear=pHead;  
    }  
}  



二、二分查找排序

二分查找排序是插入排序的一个变种。改进点：对有序区从末尾一个一个直接比较，改为效率更高的二分查找。在速率上有一定的提升。二分插入排序元素移动次数与直接插入排序相同，最佳情况O(nlgn)，最差和平均情况O(n^2)

实现：

[cpp] view plain copy
voidbinary_insert_sort(int *a,int len){  
    assert(a!=NULL && len>0);  
    int begin=0,end=0,middle=0;  
    int key=0,i=0;  
    for(int pos=1;pos<len;++pos){  
       key = a[pos];  
       begin=0;  
       end=pos-1;  
       while(begin<=end){  
           middle = (begin+end)/2;  
           if(a[middle]>key)  
              end=middle-1;  
           else  
              begin=middle+1;  
       }  
   
       i=pos-1;  
       while(i>=begin){  
           a[i+1]=a[i];  
           --i;  
       }  
       a[begin] = key;  
    }  
}  


 

三、希尔排序

Shell sort，递减增量排序算法，因DL．Shell于1959年提出而得名，是插入排序的一种更高效的改进版本。

核心：增量分组+插入排序+增量递减

描述：希尔排序是非稳定排序算法，希尔排序的时间复杂度与增量序列的选取有关，希尔增量时间复杂度为O(n^2)。

步骤：

1、先取一个小于n的整数d1作为第一个增量，把文件的全部记录分组。所有距离为d1的倍数的记录放在同一个组中，在各组内进行直接插入排序。

2、取第二个增量d2<d1重复上述的分组和排序，

3、直至所取的增量dt=1(dt<dt-l<…<d2<d1)，即所有记录放在同一组中进行直接插入排序为止。

上图：


伪代码

[cpp] view plain copy
input: an array a of length n with array elements numbered 0 to n − 1  
inc ← round(n/2)  
while inc > 0 do:     
    for i = inc .. n − 1 do:         
        temp ← a[i]         
        j ← i         
        while j ≥ inc and a[j − inc]> temp do:             
            a[j] ← a[j − inc]             
            j ← j − inc          
        a[j] ← temp     
    inc ← round(inc / 2)  


实现：

[cpp] view plain copy
#include <assert.h>  
#include <iostream>  
#include <algorithm>  
#include <iterator>  
using namespace std;  
void shell_sort(int *a,int len){  
    assert(a!=NULL && len>0);  
    int key=0;  
    for(int gap=len/2;gap>0;gap/=2){  
        for(int i=gap;i<len;++i){  
            key=a[i];     
            int j=i-gap;          
            while(j>=0 && a[j]>key){  
                a[j+gap]=a[j];  
                j-=gap;  
            }  
            a[j+gap]=key;  
        }  
}  
int main(){  
    int seq[]={3,7,8,5,2,1,9,5,4};  
    int length=sizeof(seq)/sizeof(int);   
    copy(seq,seq+length,ostream_iterator<int>(cout," "));   
    cout<<endl;  
    cout<<"begin: "<<endl;  
    shell_sort(seq,length);  
    cout<<"end: "<<endl;  
    copy(seq,seq+length,ostream_iterator<int>(cout," "));   
    cout<<endl;  
    return 0;  
}  
结果


四、选择排序

Selection sort是一种简单直观的排序算法。

核心：有序区+选无序区的极值

描述：将无序区的最值放在有序区的末尾，以此对序列进行排序最好、平均和最坏运行时间为θ(n^2)。

算法步骤为：（此处为递减序列，递增则选无序区的最大值）

1、初始状态：无序区为R[1..n]，有序区为空。

2、第i趟排序开始时，当前有序区和无序区分别为R[1..i-1]和R[i…n]。该趟排序从当前无序区中选出关键字最小的记录R[k]，将它与无序区的第1个记录R交换，使R[1..i]和R分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区。

3、前n-1趟结束，数组有序化了

上图：


伪代码为：

[cpp] view plain copy
SELECTION-SORT(A)  
for j = 1 to Length(A)  
        i = j  
        key = A(i)  
        for i to Lenth(A)  
               if key>A(i)  
                       key = A(i)  
                       k = i  
        A(k) = A(j)  
        A(j)  = key  


实现：

[cpp] view plain copy
#include <assert.h>  
#include <iostream>  
#include <algorithm>  
#include <iterator>  
using namespace std;  
void select_sort(int *a,int len){  
    assert(a!=NULL && len>0);  
    int max=0,pos=0;  
    for(int i=0;i<len;++i){  
        max=a[i];  
        pos=i;  
        for(int j=i;j<len;++j){  
            if(a[j]>max){  
                pos=j;  
                max=a[j];  
            }  
        }  
        swap(a[i],a[pos]);  
    }  
}  
int main(){  
    int seq[]={3,7,8,5,2,1,9,5,4};  
    int length=sizeof(seq)/sizeof(int);   
    copy(seq,seq+length,ostream_iterator<int>(cout," "));   
    cout<<endl;  
    cout<<"begin: "<<endl;  
    select_sort(seq,length);  
    cout<<"end: "<<endl;  
    copy(seq,seq+length,ostream_iterator<int>(cout," "));   
    cout<<endl;  
    return 0;  
}  
结果：



五、归并排序

《算法导论》的第2章介绍了归并排序及其算法分析，并引入了分治算法策略，divide-and-conquer。

核心：分治

描述：指的是将两个已经排序的串行合并成一个串行的操作。最坏情况下运行时间为θ(n^2)，但是平均性能相当好，期望的运行时间为θ(nlgn)。

算法步骤为：

1、        Divide: 把长度为n的输入序列分成两个长度为n/2的子序列

2、        Conquer: 对这两个子序列分别采用归并排序

3、        Combine: 将两个排序好的子序列合并成一个最终的排序序列。

上图：



 

伪代码为：

[cpp] view plain copy
MERGE（A，p,q,r）  
N1←q-p+1  
N2←r-q  
Creat arrays L[1……n1+1] and R[1….n2+1]  
For i←1 to n1  
Do l[i]←A[p+i-1]  
For j←1 to n2  
        Do R[j]←A[q+j]  
L[n1+1]←∞  
R[n2+1]←∞  
i←1  
j←1  
for k←p to r  
        do if Li]<=R[j]  
               then A[k]←l[j]  
               i←i+1     
        else A[k]←R[j]  
               j←j+1  
  
NERGE_SORT(A,p,r)  
If p<r  
Then q←[(p+r)/2]  
        MERGE_SORT(A,p,q)  
MERGE_SORT(A,p+1,q)  
MERGE_SORT(A,p,q,r)  


实现

[cpp] view plain copy
#include<assert.h>  
#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<iterator>  
usingnamespace std;  
//combinea[begin,middle] with a[middle+1,end]  
voidcombine_array(int *a,int b,int m,int e,int *temp){  
    assert(a!=NULL && b>=0 &&m>=0 && e>=0 && temp!=NULL);  
    int i=b,j=m+1,pos=0;  
    while(i<=m && j<=e){  
       if(a[i]<=a[j])  
           temp[pos++]=a[i++];  
       else  
           temp[pos++]=a[j++];  
    }  
    while(i<=m)  
       temp[pos++]=a[i++];  
    while(j<=m)  
       temp[pos++]=a[j++];  
    for(i=0;i<pos;++i){  
       a[b+i]=temp[i];  
    }  
}  
voidmerge_sort(int *a,int begin,int end,int *temp){  
    assert(a!=NULL && begin>=0&& end>=0 && temp!=NULL);  
    if(begin<end){  
       int middle = (begin+end)/2;  
       merge_sort(a,begin,middle,temp);//left  
       merge_sort(a,middle+1,end,temp);//rigth  
       combine_array(a,begin,middle,end,temp);//combine  
    }  
}  
int main(){  
    int seq[]={3,7,8,5,2,1,9,5};  
    int length=sizeof(seq)/sizeof(int);  
    int *t = new int(length);  
    copy(seq,seq+length,ostream_iterator<int>(cout,""));  
    cout<<endl;  
    cout<<"begin: "<<endl;  
    merge_sort(seq,0,length-1,t);  
    cout<<"end: "<<endl;  
    copy(seq,seq+length,ostream_iterator<int>(cout,""));  
    cout<<endl;  
    delete t;  
    return 0;  
}  


结果：



 

六、冒泡排序

Bubble sort是一种简单的排序算法。走访数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

核心：比大小

描述：冒泡排序是与插入排序拥有相等的执行时间。最优O(n)，平均、最初O(n^2)。

步骤

1、比较相邻的元素。如果第一个比第二个大，就交换他们两个。

2、对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。

3、针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。

上图


伪代码

[cpp] view plain copy
function bubblesort (A : list[0..n-1]) {  
    var inti, j;  
    for i fromn-1 downto 0 {  
        for j from 0 to i {  
            if(A[j] > A[j+1])  
               swap(A[j], A[j+1])  
        }  
    }  
}  


实现

[cpp] view plain copy
#include<assert.h>  
#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<iterator>  
usingnamespace std;  
voidbubble_sort(int *a,int len){  
    assert(a!=NULL && len>0);  
    for(int i=0;i<=len-1;++i){  
       for(int j=0;j<=len-1-i;++j)  
           if(a[j]>a[j+1])  
              swap(a[j],a[j+1]);  
    }  
}  
int main(){  
    int seq[]={3,7,8,5,2,1,9,5,4};  
    int length=sizeof(seq)/sizeof(int);     
    copy(seq,seq+length,ostream_iterator<int>(cout,""));  
    cout<<endl;  
    cout<<"begin: "<<endl;  
    bubble_sort(seq,length);  
    cout<<"end: "<<endl;  
    copy(seq,seq+length,ostream_iterator<int>(cout,""));  
    cout<<endl;  
    return 0;  
}  

结果



 

七、快速排序

算法导论的第七章介绍了快速排序及其算法分析。

核心：分治+递归

描述：快速排序采用的是分治算法思想，分而治之，各个击破。最坏情况下运行时间为θ(n^2)，但是平均性能相当好，期望的运行时间为θ(nlgn)。

算法步骤为：

1、pivot：从数列中挑出一个元素作为基准

2、partition：重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。

3、recursive：把两个子序列递归排序

上图：


伪代码为：

[cpp] view plain copy
function quicksort(q)  
     var list less,pivotList, greater  
     if length(q) ≤ 1 {  
         return q  
     } else {  
         select a pivot value pivotfrom q  
         for each x inq except the pivot element  
             if x < pivot thenadd x to less  
             if x ≥ pivot thenadd x to greater  
         add pivot topivotList  
         returnconcatenate(quicksort(less), pivotList, quicksort(greater))  
     }  


实现：快排的基准值可以以多种方式获得。取首元素，末尾元素，或者干脆来个随机取值。

维基的百科的实现非常经典，代码如下

[cpp] view plain copy
struct Range{  
        explicit Range(int s=0,int e=0):start(s),end(e){}  
        int start,end;  
};  
void quicksort(int n,int arr[]){  
        if(n<=0) return;  
        stack<Range> st;  
        st.push(Range(0,n-1));  
        while(!st.empty()){  
               Range range = st.top();  
               st.pop();  
               int pivot = arr[range.end];  
               int pos = range.start-1;  
               for(int i=range.start;i<range.end;++i){  
                       if(arr[i]<pivot){  
                               std::swap(arr[i],arr[++pos]);  
                       }  
               }  
               std::swap(arr[++pos],arr[range.end]);  
               if(pos-1>range.start){  
                       st.push(Range(range.start,pos-1));  
               }  
               if(pos+1<range.end){  
                       st.push(Range(pos+1,range.end));  
               }  
        }  
}  


自己的实现代码，加了个判断，相等就不交换：

[cpp] view plain copy
#include<assert.h>  
#include<iostream>  
#include<algorithm>  
#include<iterator>  
usingnamespace std;  
voidquick_sort(int *a,int len){  
    assert(a);  
    int pivot=0,low=0,pos=0;  
    if(len>1){  
       pivot = a[len-1];  
       for(pos=0,low=0;pos<len-1;++pos){  
           if(a[pos]<pivot){  
              if(a[pos]==a[low]){  
                  ++low;  
                  continue;  
              }  
              swap(a[pos],a[low++]);  
           }  
       }  
       swap(a[low],a[len-1]);  
       quick_sort(a,low);  
       quick_sort(a+low+1,len-low-1);  
    }  
}  
   
int main(){  
    int seq[]={3,7,8,5,2,1,9,5,4};  
    int length=sizeof(seq)/sizeof(int);  
    copy(seq,seq+length,ostream_iterator<int>(cout,""));  
    cout<<endl;  
    quick_sort(seq,length);  
    copy(seq,seq+length,ostream_iterator<int>(cout,""));  
    cout<<endl;  
    return 0;  
}  
运行结果：



 

八、堆排序

《算法导论》的第6章引入了堆、最大堆、最小堆的概念，由此引入了堆排序。Heap sort是利用数据结构堆所设计的一种排序算法。堆的性质是即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

核心：最大（小）堆+建立堆+堆调整

 

堆节点的性质：父节点i的左子节点在位置 (2*i+1);父节点i的右子节点在位置 (2*i+2);子节点i的父节点在位置 floor((i-1)/2);

描述，最优、平均和最差时间复杂度O(nlgn)

 

最大堆调整（Max_Heapify）：将堆的末端子节点作调整，使得子节点永远小于父节点


从图中可以看出，在节点i=2时，不满足最大堆的要求，需要进行调整，选择节点2的左右孩子中最大一个进行交换，然后检查交换后的节点i=4是否满足最大堆的要求，从图看出不满足，接着进行调整，直到没有交换为止。

递归形式：

[cpp] view plain copy
voidadjust_max_heap_recursive(int *datas,int length,int i){  
    int left,right,largest;  
    int temp;  
    left = LEFT(i);   //left child  
    right = RIGHT(i); //right child  
    //find the largest value among left andrihgt and i.  
    if(left<=length && datas[left]> datas[i])  
        largest = left;  
    else  
        largest = i;  
    if(right <= length &&datas[right] > datas[largest])  
        largest = right;  
    //exchange i and largest  
    if(largest != i){  
        temp = datas[i];  
        datas[i] = datas[largest];  
        datas[largest] = temp;  
        //recursive call the function,adjustfrom largest  
        adjust_max_heap(datas,length,largest);  
    }  
}  


非递归形式：

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voidadjust_max_heap(int *datas,int length,int i){  
    int left,right,largest;  
    int temp;  
    while(1){  
        left = LEFT(i);   //left child  
        right = RIGHT(i); //right child  
        //find the largest value among left andrihgt and i.  
        if(left <= length &&datas[left] > datas[i])  
            largest = left;  
        else  
            largest = i;  
        if(right <= length &&datas[right] > datas[largest])  
            largest = right;  
        //exchange i and largest  
        if(largest != i){  
            temp = datas[i];  
            datas[i] = datas[largest];  
            datas[largest] = temp;  
            i = largest;  
            continue;  
        }  
        else  
            break;  
    }  
}  


创建最大堆（Build_Max_Heap）：将堆所有数据重新排序，从最后一个非叶子节点（n/2）开始调整。

 


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voidbuild_max_heap(int *datas,int length)  
{  
    int i;  
    //build max heap from the last parent node  
    for(i=length/2;i>0;i--)  
        adjust_max_heap(datas,length,i);  
}  


堆排序（HeapSort）：第一个数据的根节点与最后一个节点交换，堆长度减1，并做最大堆调整的递归运算

（1）创建最大堆，数组第一个元素最大，执行后结果下图：


（2）进行循环，从length(a)到2，并不断的调整最大堆，给出一个简单过程如下：


排序函数：

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voidheap_sort(int *datas,int length){  
    int i,temp;  
    //bulid max heap  
    build_max_heap(datas,length);  
    i=length;  
    //exchange the first value to the lastunitl i=1  
    while(i>1){  
        temp = datas[i];  
        datas[i] = datas[1];  
        datas[1] =temp;  
        i--;  
        //adjust max heap,make sure the fisrtvalue is the largest  
        adjust_max_heap(datas,i,1);  
    }  
}  


结果

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#include<iostream>  
usingnamespace std;  
void sift(intd[], int ind, int len){  
    //#置i为要筛选的节点#%  
    int i = ind;  
    //#c中保存i节点的左孩子#%  
    int c = i * 2 + 1; //#+1的目的就是为了解决节点从0开始而他的左孩子一直为0的问题#%  
    while(c < len)//#未筛选到叶子节点#%{  
        //#如果要筛选的节点既有左孩子又有右孩子并且左孩子值小于右孩子#%  
        //#从二者中选出较大的并记录#%  
        if(c + 1 < len && d[c] <d[c + 1])  
            c++;  
        //#如果要筛选的节点中的值大于左右孩子的较大者则退出#%  
        if(d[i] > d[c]) break;  
        else{  
            //#交换#%  
            int t = d[c];  
            d[c] = d[i];  
            d[i] = t;  
            //  
            //#重置要筛选的节点和要筛选的左孩子#%  
            i = c;  
            c = 2 * i + 1;  
        }  
    }  
    return;  
}  
   
voidheap_sort(int d[], int n){  
    //#初始化建堆, i从最后一个非叶子节点开始#%  
    for(int i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--)  
        sift(d, i, n);  
    for(int j = 0; j < n; j++){  
                //#交换#%  
        int t = d[0];  
        d[0] = d[n - j - 1];  
        d[n - j - 1] = t;  
        //#筛选编号为0 #%  
        sift(d, 0, n - j - 1);  
    }  
}  
int main(){  
    int a[] = {4,1,3,16,9,10,14,8,7};  
    heap_sort(a, sizeof(a) / sizeof(*a));  
    for(int i = 0; i < sizeof(a) /sizeof(*a); i++){  
        cout << a[i] << ‘ ‘;  
    }  
    cout << endl;  
    return 0;  
}