这篇文章为大家梳理一下整个蒙哥马利算法的本质,蒙哥马利算法并不是一个独立的算法,而是三个相互独立又相互联系的算法集合,其中包括
- 蒙哥马利乘模,是用来计算x?y (mod N)
- 蒙哥马利约减,是用来计算t?ρ?1 (mod N)
- 蒙哥马利幂模,是用来计算xy (mod N)
其中蒙哥马利幂乘是RSA加密算法的核心部分。
基本概念
梳理几个概念,试想一个集合是整数模N之后得到的
ZN={0,1,2,?,N?1}
注:N在base-b进制下有lN位。 比如10进制和100进制,都属于base-10进制,因为100=102,所以b=10。在10进制下,667的lN=3
这样的集合叫做N的剩余类环,任何属于这个集合Z的x满足以下两个条件:
1. 正整数
2. 最大长度是lN
这篇文章中讲到的蒙哥马利算法就是用来计算基于ZN集合上的运算,简单讲一下原因,因为RSA是基于大数运算的,通常是1024bit或2018bit,而我们的计算机不可能存储完整的大数,因为占空间太大,而且也没必要。因此,这种基于大数运算的加密体系在计算的时候都是基于ZN集合的,自然,蒙哥马利算法也是基于ZN。
在剩余类环上,有两种重要的运算,一类是简单运算,也就是加法和减法,另一类复杂运算,也就是乘法。我们比较熟悉的是自然数集上的运算,下面看下怎么从自然数集的运算演变成剩余类环上的运算。
对于加法运算,如果计算x±y (mod N) (0?x,y<N),试想自然数集上的 x±y
0?x+y?2?(N?1)
?(N?1)?x?y?(N?1)
我们可以简单的通过加减N来实现从自然数到剩余类集的转换
另外一类是乘法操作,也就是x?y (mod N)(0?x,y<N),那么
0?x?y?(N?1)2
如果在自然数集下,令t=x?y,那么对于modN我们需要计算
t?(N??tN?)
加减操作很简单,具体的算这里就不细说了,我们用ZN?ADD 来代表剩余类环上的加法操作。既然我们可以做加法操作,那么我们就可以扩展到乘法操作,算法如下
但是这并不是一个好的解决方案,因为通常来说,我们不会直接做w位乘w位的操作,这个后面会用蒙哥马利的乘法来代替解决。
对于取模操作,一般有以下几种方法
1,根据以下公式,来计算取模操作
t?(N??tN?)
这种解法有以下特征
- 整个计算过程是基于标准的数字表示
- 不需要预计算(也就是提前计算一些变量,以备使用)
- 涉及到一个除法操作,非常费时和复杂
2,用Barrett reduction算法,这篇文章不细说,但是有以下特征
- 基于标准的数字表示
- 不需要预计算
- 需要2?(lN+1)?(lN+1) 次数乘运算
3,用蒙哥马利约减,也就是下面要讲的算法,有以下特征
- 不是基于标准的数字表示(后文中有提到,是基于蒙哥马利表示法)
- 需要预计算
- 需要2?(lN)?(lN) 次数乘运算
蒙哥马利预备知识
在将蒙哥马利算法之前,先看一下在自然数下的乘法公式
计算x?y,想象一下我们常用的计算乘法的方法,用乘数的每一位乘上被乘数,然后把得到的结果相加,总结成公式,可以写成如下的形式。
x?y=x?sumly?1i=0yi?bi
=sumly?1i=0yi?x?bi
尝试下面一个例子,10进制下(也就是b=10),y=456(也就是ln=3),计算x?y,公式可演变如下:
x?y=(y0?x?100)+(y1?x?101)+(y2?x?102)
=(y0?x?0)+(y1?x?10)+(y2?x?100)
=(y0?x)+10?(y1?x+10?(y2?x?+10?(0)))
最后一次演变其实就是用霍纳法则(Horner’s rule)所讲的规则,关于霍纳法则,可以自行百度。
这个计算过程写成代码实现的算法应该是这样的:
接下来我们来看下面这样的计算,计算(x?y)/1000,由前面可以知道
x?y=(y_0?x)+10?(y_1?x+10?(y_2?x?+10?(0)))
由此可以知道:
x?y1000=(y0?x?100)+(y1?x?101)+(y2?x?102)1000
=(y0?x?0)+(y1?x?10)+(y2?x?100)1000
=(y0?x)1000+(y1?x)100+(y2?x)10
=(((((y0?x)/10)+y1?x)/10)+y2?x)/10
这个计算过程写成代码实现的算法是这样的:
接下来我们再来看在剩余类集合下的乘法操作 x?y/1000 (mod 667)
我们知道剩余类集合Z667={0,1?666},是不存在小数的,而如果我们采用自然数集的计算方式的话,就会出现小数,比如前面的例子,除10就会有小数。
这个问题是这样的,我们知道u·667≡0(mod667)(≡表示取模相等),所以我们可以选择一个合适的u,用u乘667再加上r,使得和是一个可以除10没有小数,这样在mod 667之后依然是正确的结果。至于u怎么算出来,这篇文章会在后面的章节说明。
这个过程之后x?y/1000 (mod 667) 的计算算法可以写成如下的形式
至此,你可能还不明白上面说这一堆演变的原因,其实很简单,原来是一个(x?y) (mod 667)的运算,这个运算中的模操作,正常情况下是要通过除法实现的,而除法是一个特别复杂的运算,要涉及到很多乘法,所以在大数运算时,我们要尽量避免除法的出现。而通过以上几个步骤,我们发现(x?y)/1000 (mod 667)这个操作是不用除法的。等等,算法中明明有个除10的操作,你骗谁呢。不知道你有没有发现,除数其实是我们的进制数,除进制数在计算机中是怎么做呢,其实很简单,左移操作就ok了。所以这个计算方法是不涉及到除法操作的。
但是我们要计算的明明是(x1?y1) (mod 667),怎么现在变成了(x2?y2)/1000 (mod 667),所以在下一步,我们要思考的是怎么样让(x1?y1) (mod 667)转变成(x2?y2)/1000 (mod 667)这种形式。
考虑这样两个算法
- 第一个是输入x和y,计算x?y?ρ?1
- 第二个算法,输入一个t,计算t?ρ?1。
x?y (mod 667)=((x?1000)?(y?1000)/1000)/1000 (mod 667)
是不是变成了我们需要的(x?y)/1000 (mod 667)模式,而且这个转变过程是不是可以通过上面两个算法来实现,输入值如果是(x?1000)和(y?1000),则通过第一个算法可以得到((x?1000)?(y?1000)/1000),把结果作为第二个算法的输入值,则通过第二个算法可以得到((x?1000)?(y?1000)/1000)/1000。
扯了一大顿,终于引出了今天文章的主角,前面讲到的两个算法,第一个就是蒙哥马利乘模,第二个就是蒙哥马利约减。下面我们来讲这两个算法的详解。
正如前面提到的蒙哥马利算法的三个特性之一是,不是基于普通的整数表示法,而是基于蒙哥马利表示法。什么是蒙哥马利表示法呢,其实也很简单,上面我们提到,要让(x1?y1) (mod 667)转变成(x2?y2)/1000 (mod 667)这种形式,我们需要将输入参数变成(x?1000)和(y?1000),而不是x和y本身,而(x?1000)和(y?1000) 其实就是蒙哥马利表示法。
所以我们先定义几个概念:
蒙哥马利约减
蒙哥马利约减的定义如下
给定一些整数t,蒙哥马利约减的计算结果是t?ρ?1 (mod N)
蒙哥马利约减的算法可表示为
蒙哥马利约减可以算作是下面要说的蒙哥马利模乘当x=1时的一种特殊形式,。同时它又是蒙哥马利乘模要用到的一部分,这在下一部分讲蒙哥马利乘模的时候有讲到。
蒙哥马利约减可以用来计算某个值得取模操作,比如我们要计算m(mod N),只需要将m
的蒙哥马利表示法m?ρ作为参数,带入蒙哥马利约减,则计算结果就是m(mod N)。
蒙哥马利乘模
一个蒙哥马利乘模包括整数乘法和蒙哥马利约减,现在我们有蒙哥马利表示法:
x? =x?ρ (mod N)
y? =y?ρ (mod N)
它们相乘的结果是
t=x? ?y?
=(x?ρ)?(y?ρ)
=(x?y)?ρ2
最后,用一次蒙哥马利约减得到结果
t? =(x?y)?ρ (mod N)
上面我们可以看出,给出的输入参数是x? 和y? , 得到的结果是(x?y)?ρ (mod N),所以蒙哥马利乘法也可以写成如下形式,已知输入参数x和y,蒙哥马利乘法是计算(x?y)?ρ?1 (mod N)
举个例子:
b=10,也就是说在10进制下,N=667
让bk>N的最小的k是3,所以ρ=bk=103=1000
ω=?N?1 (mod ρ)=?667?1 (mod ρ)=997
因为x=421,所以x? =x?ρ(mod N)=421?1000(mod 667)=123
因为y=422,所以y? =y?ρ(mod N)=422?1000(mod 667)=456
所以计算x? 和y? 蒙哥马利乘结果是
x? ?y? ?ρ?1=(421?1000?422?1000)?1000?1 (mod 667)
(421?422)?1000 (mod 667)
(240)?1000 (mod 667)
547 (mod 667)
然后总结一下蒙哥马利约减和蒙哥马利乘法的伪代码实现,这个算法其实就是从蒙哥马利预备知识讲到的算法演变来的。
上面的例子用这个算法可以描述为
蒙哥马利算法是一套很完美的算法,为什么这么说呢,你看一开始已知x,我们要求x? =x?ρ,这个过程可以通过蒙哥马利乘法本身来计算,输入参数x和ρ2,计算结果就是x? =x?ρ。然后在最后,我们知道x? =x?ρ,要求得x的时候,同样可以通过蒙哥马利算法本身计算,输入参数x? 和1,计算结果就是x。有没有一种因就是果,果就是因的感觉,这就是为什么说蒙哥马利算法是一套很完美的算法。
蒙哥马利幂模
最后,才说到我们最开始提到的RSA的核心幂模运算,先来看一下普通幂运算的算法是怎么得出来的。
以下资料来自于百度百科快速模幂运算
针对快速模幂运算这一课题,西方现代数学家提出了大量的解决方案,通常都是先将幂模运算转化为乘模运算。
例如求D=C^15%N
由于:a*b % n = (a % n)*(b % n) % n
所以令:
C1 =C*C % N =C^2 % N
C2 =C1*C % N =C^3 % N
C3 =C2*C2 % N =C^6 % N
C4 =C3*C % N =C^7 % N
C5 =C4*C4 % N =C^14 % N
C6 =C5*C % N =C^15 % N
即:对于E=15的幂模运算可分解为6 个乘模运算,归纳分析以上方法可以发现:
对于任意指数E,都可采用以下算法计算D=C**E % N:
D=1
WHILE E>0
IF E%2=0
C=C*C % N
E=E/2
ELSE
D=D*C % N
E=E-1
RETURN D
继续分析会发现,要知道E 何时能整除 2,并不需要反复进行减一或除二的操作,只需验证E 的二进制各位是0 还是1 就可以了,从左至右或从右至左验证都可以,从左至右会更简洁,
设E=Sum[i=0 to n](E*2**i),0<=E<=1
则:
D=1
FOR i=n TO 0
D=D*D % N
IF E=1
D=D*C % N
RETURN D这样,模幂运算就转化成了一系列的模乘运算。
算法可以写成如下的形式
如果我们现在用蒙哥马利样式稍作改变,就可以变成如下的形式:
以上就是蒙哥马利算法的全部,通过蒙哥马利算法中的约减运算,我们将大数运算中的模运算变成了移位操作,极大地提高了大数模乘的效率。
但是在以上的算法,可以发现还有两个变量的计算方式不是很清楚,一个是ω,前面说过ω=?N?1(modN) ,其实在算法中,我们看到,omega仅仅被用来做modb操作,所以事实上,我们只需要计算modb即可。
尽管N有可能是合数(因为两个素数的乘积不一定是素数),但通常N和ρ(也就是N和b)是互质的,也就是说N?(b)=1(mob b)(费马定理),N?(b)?1=N?1(mob b)
因为b=2ω,所以?(b)=2(ω?1),写成算法是这样的
还有一个参数是ρ2,还记得前面说过ρ是怎么得出来吗,选定一个最小的k,使得bk>N,我们还知道N在b进制下是lN位,所以当k=lN的时候肯定是符合要求。
b=2ω 所以ρ=bk=(2ω)k
ρ2=(2w)k)2=22?k?ω=22?lN?ω,算法如下
至此整个蒙哥马利算法就全部说完了。通过这个算法,我们可以实现快速幂模。