欧几里德算法

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   　欧几里德算法，又叫辗转相除法，最初见于东汉出现的《九章算术》，被用来求两个整数a,b的最大公约数，下面我们来介绍这个算法的原理和用法。

　　算法原理：设我们要求整数（a,b）的公约数为x，不妨设a>=b。

　　因为x为a和b的公约数，同时a可以表示为a=k*b+r，即r=a-k*b，那么我们很容易看出x也是r的公约数；记  r = a mod b。

　　反之，如果我们知道 x 是 b,a mod b的公约数，将上式做简单变换得：a = k * b + r，那么由此可知 x 也是 a,b 的公约数。

　　到这里我们得到了一个结论：（a,b）的公约数和（ b,a mod b）的公约数是一样的，那么它们的最大公约数也必然相等，同理，将b当做新的a ，将a mod b当做新的b带入上述公式可以得到（b，b mod （a mod b）），这个与（a，b）的最大公约数也是相等的，同理可以将得到的数再当做新的（a，b）再次带入，这样数据规模就会不断缩小，但是最大公约数是不变的，始终与（a，b）的最大公约数相等。那么这样做到什么时候是个头呢？当然是到一个数为另一个数的整数倍，那么它们的最大公约数就是二者较小的那个数，此时a mod b = 0，那么下一步输入的两个数就是（b，0），返回此时输入的第一个数就好了。

　　代码实现：C++

　　递归方法：

  int gcd(int a,int b){ return b ? gcd(b,a%b):a;}  //这里的a要大于b且不能为0，否则无法跳出函数，一直递归下去会导致爆栈，a,b不能为0

　　循环方法：

 int gcd(int a,int b) {int t; if(a<b) {t=a;a=b;b=t;} t=a%b; a=b; b=t; while(t) { t=a%b; a=b; b=t;} return a; }       //a，b不能为0

　　时间复杂度：准确说是5*lg（n），但平时我们可以按照2*log（n）来计算

　　到这里，欧几里德算法就介绍完了，接下来将继续以它为基础学习扩展欧几里德算法及应用。

　　这是博主写的第一篇文章呢，很简单也很基础，接下来还会写一些其他的算法和题目的题解，如果大家有什么问题或建议，欢迎给我留言，也可以加我QQ：3218558035 与我交流哦

欧几里德算法

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原文地址：http://www.cnblogs.com/Parallels/p/5950435.html