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• 参考：http://blog.csdn.net/mousever/article/details/45967643
• 1. 欧氏距离，最常见的两点之间或多点之间的距离表示法，又称之为欧几里得度量，它定义于欧几里得空间中，如点 x = (x1,...,xn) 和 y = (y1,...,yn) 之间的距离为：

(1)二维平面上两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的欧氏距离：

(2)三维空间两点a(x1,y1,z1)与b(x2,y2,z2)间的欧氏距离：

(3)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：

　　也可以用表示成向量运算的形式：

其上，二维平面上两点欧式距离，代码可以如下编写：

 1 //unixfy：计算欧氏距离
 2 double euclideanDistance(const vector<</span>double>& v1, const vector<</span>double>& v2)
 3 {
 4 assert(v1.size() == v2.size());
 5 double ret = 0.0;
 6 for (vector<</span>double>::size_type i = 0; i != v1.size(); ++i)
 7 {
 8 ret += (v1[i] - v2[i]) * (v1[i] - v2[i]);
 9 }
10 return sqrt(ret);
11 }
12  

• 2. 曼哈顿距离，我们可以定义曼哈顿距离的正式意义为L1-距离或城市区块距离，也就是在欧几里得空间的固定直角坐标系上两点所形成的线段对轴产生的投影的距离总和。例如在平面上，坐标（x1, y1）的点P1与坐标（x2, y2）的点P2的曼哈顿距离为：，要注意的是，曼哈顿距离依赖座标系统的转度，而非系统在座标轴上的平移或映射。

(1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的曼哈顿距离

(2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的曼哈顿距离

• 3. 切比雪夫距离，若二个向量或二个点p 、and q，其座标分别为及，则两者之间的切比雪夫距离定义如下：，

  这也等于以下Lp度量的极值：，因此切比雪夫距离也称为L∞度量。

  在平面几何中，若二点p及q的直角坐标系坐标为及，则切比雪夫距离为：。

(1)二维平面两点a(x1,y1)与b(x2,y2)间的切比雪夫距离

(2)两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的切比雪夫距离 　　

这个公式的另一种等价形式是

(1) 闵氏距离的定义

两个n维变量a(x11,x12,…,x1n)与 b(x21,x22,…,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为：

其中p是一个变参数。

当p=1时，就是曼哈顿距离

当p=2时，就是欧氏距离

当p→∞时，就是切比雪夫距离

根据变参数的不同，闵氏距离可以表示一类的距离。

（1）巴氏距离的定义

对于离散概率分布 p和q在同一域 X，它被定义为：

其中：

是Bhattacharyya系数。

对于连续概率分布，Bhattacharyya系数被定义为：

在这两种情况下，巴氏距离并没有服从三角不等式.（值得一提的是，Hellinger距离不服从三角不等式）。

对于多变量的高斯分布 ，

，

 

和是手段和协方差的分布。

需要注意的是，在这种情况下，第一项中的Bhattacharyya距离与马氏距离有关联。

（2）Bhattacharyya系数

Bhattacharyya系数是两个统计样本之间的重叠量的近似测量，可以被用于确定被考虑的两个样本的相对接近。

计算Bhattacharyya系数涉及集成的基本形式的两个样本的重叠的时间间隔的值的两个样本被分裂成一个选定的分区数，并且在每个分区中的每个样品的成员的数量，在下面的公式中使用

考虑样品a 和 b ，n是的分区数，并且，被一个 和 b i的日分区中的样本数量的成员。更多介绍请参看：http://en.wikipedia.org/wiki/Bhattacharyya_coefficient。

或许，你还没明白我再说什么，不急，看下上篇blog中第78题的第3小题整理的一道面试题目，便一目了然了。如下图所示：

  与此同时，面试官还可以继续问下去：那么，请问，如何设计一个比较两篇文章相似性的算法？（这个问题的讨论可以看看这里：http://t.cn/zl82CAH，及这里关于simhash算法的介绍：http://www.cnblogs.com/linecong/archive/2010/08/28/simhash.html），接下来，便引出了下文关于夹角余弦的讨论。

（上篇blog中第78题的第3小题给出了多种方法，读者可以参看之。同时，程序员编程艺术系列第二十八章将详细阐述这个问题）

• 9. 夹角余弦(Cosine) ，几何中夹角余弦可用来衡量两个向量方向的差异，机器学习中借用这一概念来衡量样本向量之间的差异。

(1)在二维空间中向量A(x1,y1)与向量B(x2,y2)的夹角余弦公式：

(2) 两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夹角余弦    

类似的，对于两个n维样本点a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)，可以使用类似于夹角余弦的概念来衡量它们间的相似程度，即：      

夹角余弦取值范围为[-1,1]。夹角余弦越大表示两个向量的夹角越小，夹角余弦越小表示两向量的夹角越大。当两个向量的方向重合时夹角余弦取最大值1，当两个向量的方向完全相反夹角余弦取最小值-1。

(1) 杰卡德相似系数

两个集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，称为两个集合的杰卡德相似系数，用符号J(A,B)表示。　

杰卡德相似系数是衡量两个集合的相似度一种指标。

(2) 杰卡德距离

与杰卡德相似系数相反的概念是杰卡德距离(Jaccard distance)。

杰卡德距离可用如下公式表示：　　

杰卡德距离用两个集合中不同元素占所有元素的比例来衡量两个集合的区分度。

(3) 杰卡德相似系数与杰卡德距离的应用

可将杰卡德相似系数用在衡量样本的相似度上。

举例：样本A与样本B是两个n维向量，而且所有维度的取值都是0或1，例如：A(0111)和B(1011)。我们将样本看成是一个集合，1表示集合包含该元素，0表示集合不包含该元素。

M11 ：样本A与B都是1的维度的个数

M01：样本A是0，样本B是1的维度的个数

M10：样本A是1，样本B是0 的维度的个数

M00：样本A与B都是0的维度的个数

依据上文给的杰卡德相似系数及杰卡德距离的相关定义，样本A与B的杰卡德相似系数J可以表示为：

这里M11+M01+M10可理解为A与B的并集的元素个数，而M11是A与B的交集的元素个数。而样本A与B的杰卡德距离表示为J‘：

(其中，E为数学期望或均值，D为方差，D开根号为标准差，E{ [X-E(X)] [Y-E(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov(X,Y)，即Cov(X,Y) = E{ [X-E(X)] [Y-E(Y)]}，而两个变量之间的协方差和标准差的商则称为随机变量X与Y的相关系数，记为)

  相关系数衡量随机变量X与Y相关程度的一种方法，相关系数的取值范围是[-1,1]。相关系数的绝对值越大，则表明X与Y相关度越高。当X与Y线性相关时，相关系数取值为1（正线性相关）或-1（负线性相关）。

  具体的，如果有两个变量：X、Y，最终计算出的相关系数的含义可以有如下理解：

1. 当相关系数为0时，X和Y两变量无关系。
2. 当X的值增大（减小），Y值增大（减小），两个变量为正相关，相关系数在0.00与1.00之间。
3. 当X的值增大（减小），Y值减小（增大），两个变量为负相关，相关系数在-1.00与0.00之间。

  相关距离的定义是：

OK，接下来，咱们来重点了解下皮尔逊相关系数。

  在统计学中，皮尔逊积矩相关系数（英语：Pearson product-moment correlation coefficient，又称作 PPMCC或PCCs, 用r表示）用于度量两个变量X和Y之间的相关（线性相关），其值介于-1与1之间。

通常情况下通过以下取值范围判断变量的相关强度：
相关系数 0.8-1.0 极强相关
0.6-0.8 强相关
0.4-0.6 中等程度相关
0.2-0.4 弱相关
0.0-0.2 极弱相关或无相关

在自然科学领域中，该系数广泛用于度量两个变量之间的相关程度。它是由卡尔·皮尔逊从弗朗西斯·高尔顿在19世纪80年代提出的一个相似却又稍有不同的想法演变而来的。这个相关系数也称作“皮尔森相关系数r”。

(1)皮尔逊系数的定义：

两个变量之间的皮尔逊相关系数定义为两个变量之间的协方差和标准差的商：

以上方程定义了总体相关系数, 一般表示成希腊字母ρ(rho)。基于样本对协方差和方差进行估计，可以得到样本标准差, 一般表示成r：

一种等价表达式的是表示成标准分的均值。基于(Xi, Yi)的样本点，样本皮尔逊系数是

              其中、 及 ，分别是标准分、样本平均值和样本标准差。

或许上面的讲解令你头脑混乱不堪，没关系，我换一种方式讲解，如下：

假设有两个变量X、Y，那么两变量间的皮尔逊相关系数可通过以下公式计算：

 

• 公式一：

注：勿忘了上面说过，“皮尔逊相关系数定义为两个变量之间的协方差和标准差的商”，其中标准差的计算公式为：

回归直线： y=gx(x) [红色] 和 x=gy(y) [蓝色]

如上图，对于没有中心化的数据, 相关系数与两条可能的回归线y=gx(x) 和 x=gy(y) 夹角的余弦值一致。
对于没有中心化的数据 (也就是说, 数据移动一个样本平均值以使其均值为0), 相关系数也可以被视作由两个随机变量 向量 夹角 的余弦值（见下方）。
举个例子，例如，有5个国家的国民生产总值分别为 10, 20, 30, 50 和 80 亿美元。 假设这5个国家 (顺序相同) 的贫困百分比分别为 11%, 12%, 13%, 15%, and 18% 。 令 x 和 y 分别为包含上述5个数据的向量: x = (1, 2, 3, 5, 8) 和 y = (0.11, 0.12, 0.13, 0.15, 0.18)。
利用通常的方法计算两个向量之间的夹角  (参见 数量积), 未中心化 的相关系数是:

我们发现以上的数据特意选定为完全相关: y = 0.10 + 0.01 x。于是，皮尔逊相关系数应该等于1。将数据中心化 (通过E(x) = 3.8移动 x 和通过 E(y) = 0.138 移动 y ) 得到 x = (−2.8, −1.8, −0.8, 1.2, 4.2) 和 y = (−0.028, −0.018, −0.008, 0.012, 0.042), 从中

(4)皮尔逊相关的约束条件

从以上解释, 也可以理解皮尔逊相关的约束条件:

• 1 两个变量间有线性关系
• 2 变量是连续变量
• 3 变量均符合正态分布,且二元分布也符合正态分布
• 4 两变量独立

在实践统计中,一般只输出两个系数,一个是相关系数,也就是计算出来的相关系数大小,在-1到1之间;另一个是独立样本检验系数,用来检验样本一致性。

    简单说来，各种“距离”的应用场景简单概括为，空间：欧氏距离，路径：曼哈顿距离，国际象棋国王：切比雪夫距离，以上三种的统一形式:闵可夫斯基距离，加权：标准化欧氏距离，排除量纲和依存：马氏距离，向量差距：夹角余弦，编码差别：汉明距离，集合近似度：杰卡德类似系数与距离，相关：相关系数与相关距离

 

 

余弦距离、欧氏距离和杰卡德相似性度量的对比分析

 

 

各种距离算法汇总

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原文地址：http://www.cnblogs.com/ranjiewen/p/5958803.html