全排列算法

递归算法

这里以A{a,b,c}为例，来说明全排列的生成方法，对于这个集合，其包含3个元素，所有的排列情况有3!=6种，对于每一种排列，其第一个元素有3种选择a,b,c，对于第一个元素为a的排列，其第二个元素有2种选择b,c；第一个元素为b的排列，第二个元素也有2种选择a，c，……，依次类推，我们可以将集合的全排列与一棵多叉树对应。如下图所示

在此树中，每一个从树根到叶子节点的路径，就对应了集合A的一个排列。通过递归算法，可以避免多叉树的构建过程，直接生成集合A的全排列，代码如下。

 1 template <typename T>
 2 inline void swap(T* array, unsigned int i, unsigned int j)
 3 {
 4     T t = array[i];
 5     array[i] = array[j];
 6     array[j] = t;
 7 }
 8 
 9 /*
10  * 递归输出序列的全排列
11  */
12 void FullArray(char* array, size_t array_size, unsigned int index)
13 {
14     if(index >= array_size)
15     {
16         for(unsigned int i = 0; i < array_size; ++i)
17         {
18             cout << array[i] << ‘ ‘;
19         }
20 
21         cout << ‘\n‘;
22 
23         return;
24     }
25 
26     for(unsigned int i = index; i < array_size; ++i)
27     {
28         swap(array, i, index);
29 
30         FullArray1(array, array_size, index + 1);
31 
32         swap(array, i, index);
33     }
34 }

该算法使用原始的集合数组array作为参数代码的28～32行，将i位置的元素，与index位置的元素交换的目的是使得array[index + 1]到array[n]的所有元素，对应当前节点的后继结点，递归调用全排列生成函数。调用结束之后还需要回溯将交换位置的元素还原，以供其他下降路径使用。

字典序

全排列生成算法的一个重要思路，就是将集合A中的元素的排列，与某种顺序建立一一映射的关系，按照这种顺序，将集合的所有排列全部输出。这种顺序需要保证，既可以输出全部的排列，又不能重复输出某种排列，或者循环输出一部分排列。字典序就是用此种思想输出全排列的一种方式。这里以A{1,2,3,4}来说明用字典序输出全排列的方法。

首先，对于集合A的某种排列所形成的序列，字典序是比较序列大小的一种方式。以A{1,2,3,4}为例，其所形成的排列1234<1243，比较的方法是从前到后依次比较两个序列的对应元素，如果当前位置对应元素相同，则继续比较下一个位置，直到第一个元素不同的位置为止，元素值大的元素在字典序中就大于元素值小的元素。上面的a1[1...4]=1234和a2[1...4]=1243，对于i=1,i=2，两序列的对应元素相等，但是当i=2时，有a1[2]=3<a2[2]=4，所以1234<1243。

使用字典序输出全排列的思路是，首先输出字典序最小的排列，然后输出字典序次小的排列，……，最后输出字典序最大的排列。这里就涉及到一个问题，对于一个已知排列，如何求出其字典序中的下一个排列。这里给出算法。

对于排列a[1...n]，找到所有满足a[k]<a[k+1](0<k<n-1)的k的最大值，如果这样的k不存在，则说明当前排列已经是a的所有排列中字典序最大者，所有排列输出完毕。

在a[k+1...n]中，寻找满足这样条件的元素l，使得在所有a[l]>a[k]的元素中，a[l]取得最小值。也就是说a[l]>a[k]，但是小于所有其他大于a[k]的元素。

交换a[l]与a[k].

对于a[k+1...n]，反转该区间内元素的顺序。也就是说a[k+1]与a[n]交换，a[k+2]与a[n-1]交换，……，这样就得到了a[1...n]在字典序中的下一个排列。

这里我们以排列a[1...8]=13876542为例，来解释一下上述算法。首先我们发现，1(38)76542，括号位置是第一处满足a[k]<a[k+1]的位置，此时k=2。所以我们在a[3...8]的区间内寻找比a[2]=3大的最小元素，找到a[7]=4满足条件，交换a[2]和a[7]得到新排列14876532，对于此排列的3～8区间，反转该区间的元素，将a[3]-a[8]，a[4]-a[7]，a[5]-a[6]分别交换，就得到了13876542字典序的下一个元素14235678。下面是该算法的实现代码

/*
 * 将数组中的元素翻转
 */
inline void Reverse(unsigned int* array, size_t array_size)
{
    for(unsigned i = 0; 2 * i < array_size - 1; ++i)
    {
        unsigned int t = array[i];
        array[i] = array[array_size - 1 - i];
        array[array_size - 1 - i] = t;
    }
}

inline int LexiNext(unsigned int* lexinum, size_t array_size)
{
    unsigned int i, j, k, t;

    i = array_size - 2;

    while(i != UINT_MAX && lexinum[i] > lexinum[i + 1])
    {
        --i;
    }

    //达到字典序最大值
    if(i == UINT_MAX)
    {
        return 1;
    }

    for(j = array_size - 1, k = UINT_MAX; j > i; --j)
    {
        if(lexinum[j] > lexinum[i])
        {
            if(k == UINT_MAX)
            {
                k = j;
            }
            else
            {
                if(lexinum[j] < lexinum[k])
                {
                    k = j;
                }
            }
        }
    }

    t = lexinum[i];
    lexinum[i] = lexinum[k];
    lexinum[k] = t;

    Reverse(lexinum + i + 1, array_size - i - 1);
    return 0;
}

/*
 * 根据字典序输出排列
 */
inline void ArrayPrint(const char* array, size_t array_size, const unsigned int* lexinum)
{
    for(unsigned int i = 0; i < array_size; ++i)
    {
        cout << array[lexinum[i]] << ‘ ‘;
    }

    cout << ‘\n‘;
}

/*
 * 基于逆序数的全排列输出
 */
void FullArray(char* array, size_t array_size)
{
    unsigned int lexinumber[array_size];

    for(unsigned int i = 0; i < array_size; ++i)
    {
        lexinumber[i] = i;
    }

    ArrayPrint(array, array_size, lexinumber);

    while(!LexiNext(lexinumber, array_size))
    {
        ArrayPrint(array, array_size, lexinumber);
    }
}

使用字典序输出集合的全排列需要注意，因为字典序涉及两个排列之间的比较，对于元素集合不方便比较的情况，可以将它们在数组中的索引作为元素，按照字典序生成索引的全排列，然后按照索引输出对应集合元素的排列，示例代码使用的就是此方法。对于集合A{a,b,c,d}，可以对其索引1234进行全排列生成。这么做还有一个好处，就是对于字典序全排列生成算法，需要从字典序最小的排列开始才能够生成集合的所有排列，如果原始集合A中的元素不是有序的情况，字典序法将无法得到所有的排列结果，需要对原集合排序之后再执行生成算法，生成索引的全排列，避免了对原始集合的排序操作。

字典序算法还有一个优点，就是不受重复元素的影响。例如1224，交换中间的两个2，实际上得到的还是同一个排列，而字典序则是严格按照排列元素的大小关系来生成的。对于包含重复元素的输入集合，需要先将相同的元素放在一起，以集合A{a,d,b,c,d,b}为例，如果直接对其索引123456进行全排列，将不会得到想要的结果，这里将重复的元素放到相邻的位置，不同元素之间不一定有序，得到排列A‘{a,d,d,b,b,c}，然后将不同的元素，对应不同的索引值，生成索引排列122334，再执行全排列算法，即可得到最终结果。

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