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质数计数
思路1：暴力法。其中判断每一个数n是不是质数需要验证是否任何小于n的数都不能整除n，这一步是O（n）。因此整体复杂度是O(n^2)。
思路2：思路1的优化版。如果一个数n不是质数，则n = p * q。令 p <= q，则可以推出 p * p <= n，即 p <= √n。因此思路一中只需要判断是否任何小于等于√n都不能整除n。整体时间复杂度变为O(n^1.5)。
1 public int countPrimes(int n) { 2 int count = 0; 3 for (int i = 1; i < n; i++) { 4 if (isPrime(i)) count++; 5 } 6 return count; 7 } 8 9 private boolean isPrime(int num) { 10 if (num <= 1) return false; 11 // Loop‘s ending condition is i * i <= num instead of i <= sqrt(num) 12 // to avoid repeatedly calling an expensive function sqrt(). 13 for (int i = 2; i * i <= num; i++) { 14 if (num % i == 0) return false; 15 } 16 return true; 17 }
思路3：埃拉托色尼筛选法：对于当前数i（i要从2开始），把它的倍数2i，3i，4i......都标记为不是质数，然后 i 的下一个没有被标记过的数一定是质数。
优化：（1）如果一个数已经被标记为不是质数了，直接跳过，因为它的倍数之前一定已经标记过了；（2）对于数i，不用从2i开始标记，直接从i * i开始标记（之前的也一定被标记过）。
算法空间复杂度为O(n)，时间复杂度为O(n log log n)。（证明见wiki）
1 public class Solution { 2 public int countPrimes(int n) { 3 boolean[] notPrime = new boolean[n]; 4 int count = 0; 5 for (int i = 2; i < n; i++) { 6 if (notPrime[i] == false) { 7 count++; 8 for (long j = i; i * j < n; j++) { 9 notPrime[(int)(i * j)] = true; 10 } 11 } 12 } 13 14 return count; 15 } 16 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/coldyan/p/6058625.html
